LeetCode 50. Pow(x, n) 快速幂
题目描述
实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。
示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^(-2) = 1/2^2 = 1/4 = 0.25提示：
-100.0 < x < 100.0-2^31 <= n <= 2^31-1n是一个 32 位有符号整数- 结果的范围是
[-10^4, 10^4]
解题思路
计算 x^n 最直接的方法是循环相乘，但时间复杂度为 O(n)，当 n 很大时会超时。本题考察的是 快速幂算法（又称"二分幂"、"二进制指数运算"），能在 O(log n) 时间内完成计算。
快速幂核心思想
将指数 n 用二进制表示，例如 n = 13 的二进制为 1101，则：
x^13 = x^(8+4+1) = x^8 * x^4 * x^1我们可以通过不断将底数平方，并检查当前指数二进制的最低位是否为 1，来决定是否乘入结果。具体步骤如下：
- 初始化结果
ans = 1。 - 当指数
n不为 0 时循环：- 若当前指数的最低位为 1，则将当前的底数乘入结果。
- 底数自乘（相当于指数右移一位后，底数变为原来的平方）。
- 指数右移一位。
- 循环结束后返回结果。
负指数处理
当指数为负数时，根据公式 x^(-n) = 1 / (x^n)，我们可以先取指数的绝对值，并将底数取倒数，然后按正指数计算。
溢出问题
由于 n 的范围包含 -2^31（即 -2147483648），直接取反 -n 会超出 int 范围导致溢出。因此，我们先将 n 转换为 long long 类型，再进行取反操作。
代码实现（C++）
cpp
class Solution {
public:
double myPow(double x, int n) {
double ans = 1.0; // 初始化结果
long long m = n; // 使用64位整数，防止 n = INT_MIN 时取反溢出
if (m < 0) { // 处理负指数
m = -m; // 指数取绝对值
x = 1.0 / x; // 底数取倒数
}
while (m) { // 快速幂循环
if (m & 1) { // 当前二进制位为1，乘入当前底数
ans *= x;
}
x *= x; // 底数平方，对应指数二进制位的权重
m >>= 1; // 指数右移一位
}
return ans;
}
};复杂度分析
- 时间复杂度：O(log n)。每次循环指数右移一位，循环次数为指数二进制位数，即 log₂(n)。
- 空间复杂度：O(1)。仅使用了常数个变量。
示例运行
以 x = 2.0, n = 10 为例：
m = 10（二进制1010），ans = 1.0。- 第一轮：
m & 1 = 0，不乘；x = 4.0（2²），m = 5（101）。 - 第二轮：
m & 1 = 1，ans *= 4.0→ans = 4.0；x = 16.0（4²），m = 2（10）。 - 第三轮：
m & 1 = 0，不乘；x = 256.0（16²），m = 1（1）。 - 第四轮：
m & 1 = 1，ans *= 256.0→ans = 1024.0；x = 65536.0，m = 0，结束。 - 返回
1024.0，正确。
注意事项
- 必须使用
long long存储指数，避免INT_MIN取反溢出。 - 负指数时先取倒数再计算，结果自然正确。
- 底数为 0 或指数为 0 时，代码也能正确处理（循环直接跳过，返回初始值 1.0）。
总结
快速幂是处理幂运算的高效算法，其核心在于将指数二进制分解，通过位运算和平方累乘实现 O(log n) 的时间复杂度。本题是快速幂的经典应用，掌握后可用于解决许多类似问题（如矩阵快速幂、斐波那契数列等）。