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题目说明
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶提示：
- 1 <= n <= 45
问题分析
这是一道经典的动态规划问题。我们来分析一下问题的本质：
要到达第 n 阶楼梯，只有两种可能：
- 从第 n-1 阶爬 1 步
- 从第 n-2 阶爬 2 步
因此，到达第 n 阶的方法数 = 到达第 n-1 阶的方法数 + 到达第 n-2 阶的方法数
这就是著名的斐波那契数列！
爬到第n阶
从第n-1阶爬1步
从第n-2阶爬2步
f n = f n-1 + f n-2
解法一：动态规划（自底向上）
原理讲解
动态规划的核心思想是将大问题分解为小问题，通过解决小问题来解决大问题。
对于爬楼梯问题：
- 初始状态：f(1) = 1（只有1种方法），f(2) = 2（有2种方法）
- 状态转移方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
- 从小到大依次计算，直到得到 f(n)
n=1: 1种
n=2: 2种
n=3: 3种
n=4: 5种
n=5: 8种
...
Java代码实现
java
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// 边界条件处理
if (n <= 2) {
return n;
}
// 创建dp数组，dp[i]表示爬到第i阶的方法数
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化基础状态
dp[1] = 1; // 爬到第1阶只有1种方法
dp[2] = 2; // 爬到第2阶有2种方法
// 自底向上计算
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，需要遍历一次从 3 到 n 的所有数字
- 空间复杂度：O(n)，需要一个长度为 n+1 的数组存储中间结果
解法二：动态规划（空间优化）
原理讲解
观察解法一，我们发现计算 f(n) 时只需要 f(n-1) 和 f(n-2)，不需要保存所有的历史状态。
因此可以用两个变量来代替整个数组，实现空间优化。
curr prev1 prev2 curr prev1 prev2 初始状态 计算n=3 滚动更新 继续计算... 1 2 prev1 + prev2 = 3 prev1 = 2 curr = 3
Java代码实现
java
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
// 边界条件处理
if (n <= 2) {
return n;
}
// 只需要保存前两个状态
int prev2 = 1; // f(n-2)
int prev1 = 2; // f(n-1)
int curr = 0; // f(n)
// 从第3阶开始计算
for (int i = 3; i <= n; i++) {
curr = prev1 + prev2; // 状态转移
prev2 = prev1; // 滚动更新
prev1 = curr;
}
return curr;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，需要遍历一次从 3 到 n 的所有数字
- 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个变量
解法三：递归（带记忆化）
原理讲解
递归是最直观的解法，直接按照递推公式实现。但纯递归会有大量重复计算，因此需要使用记忆化来优化。
f 5
f 4
f 3
f 3
f 2
f 2
f 1
f 2
f 1
红色节点表示重复计算
Java代码实现
java
class Solution {
// 使用数组存储已计算的结果
private int[] memo;
public int climbStairs(int n) {
memo = new int[n + 1];
return climb(n);
}
private int climb(int n) {
// 基础情况
if (n <= 2) {
return n;
}
// 如果已经计算过，直接返回
if (memo[n] != 0) {
return memo[n];
}
// 递归计算并存储结果
memo[n] = climb(n - 1) + climb(n - 2);
return memo[n];
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，每个子问题只计算一次
- 空间复杂度：O(n)，需要记忆化数组和递归调用栈
总结
爬楼梯问题是动态规划的入门经典题目，核心在于找到状态转移方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
三种解法各有特点：
- 动态规划数组版本最容易理解，适合初学者
- 动态规划空间优化版本是最优解，实际应用推荐使用
- 递归记忆化版本代码最简洁，有助于理解问题本质
掌握这道题目后，可以尝试类似的变种问题，如每次可以爬 1、2 或 3 个台阶，或者某些台阶不能踩等。