星际信号塔 —— 单调栈经典应用详解

题目名称：星际信号塔

【题目背景】

在未来的星际开拓中，人类在X星球上建立了一排用于深空通信的信号塔，由于星球曲率影响较小，我们可以将它们视为建立在一条直线上。

【题目描述】

X 星球的地表上从西向东依次排列着n座信号塔，编号依次为1到n。第i座信号塔的高度为。

为了进行星际广播，每座信号塔都会向正东方向 （即编号增大的方向）发射定向电磁波。但是电磁波是沿直线传播的，如果前方有比发射塔严格更高的信号塔，电磁波就会被那一座信号塔完全阻挡并吸收。

现在，星际工程局需要进行网络拓扑分析。请你计算：对于每一座信号塔，它的信号会被东方哪一座信号塔阻挡？请输出阻挡它的第一座更高信号塔的编号 。如果它的前方没有任何比它高的信号塔，它的信号将顺利射向深空，此时请输出0。

【输入格式】

第一行包含一个正整数n，表示信号塔的总数量。

第二行包含n个正整数，相邻两个数之间用单个空格隔开，表示从西向东每座信号塔的高度。

【输出格式】

输出一行，包含n个整数。第i个整数表示阻挡第i座信号塔信号的信号塔编号（如果没有被阻挡则输出 0）。相邻两个整数之间用单个空格隔开。

【样例输入】

7
2 6 3 1 5 7 4

【样例输出】

2 6 5 5 6 0 0

【数据规模与约定】

对于的数据，保证，。

题目分析

本题的核心诉求是：在一个由数字组成的序列中，针对每一个元素，寻找它右侧第一个严格大于它的元素的下标 。如果右侧不存在更大的元素，则返回0。

虽然题目披上了"星际信号塔"和"电磁波阻挡"的科幻外衣，但剥去场景包装后，这道题是经典的"下一个更大元素"问题，是学习数据结构中单调栈的必刷模板题。

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思考过程

1. 暴力求解（超时）： 最直观的想法是使用双重for循环。对于每一座信号塔i，都向后遍历j (从i+1到n)，找到第一个满足h[j]>h[i]的j。

   • 缺陷： 数据规模n最大为200,000。暴力解法的时间复杂度是O(n^2)，极端情况下（如信号塔高度单调递减）会进行上百亿次比较，必然会导致超时。

2. 寻找优化空间： 我们需要一种O(n)的解法。观察发现，如果遇到一座非常高的塔，那么它前面那些比较矮的塔的"视线"都会被它挡住。此时，那些矮塔的答案就确定了。 因此，我们可以把那些"还没找到阻挡者"的塔先"存起来"。一旦遇到一座新塔，就回头看看存起来的塔里面，有哪些矮塔是被这座新塔挡住的。

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解题思路与算法设计

为了实现上述优化，我们引入单调栈：

• 栈内存储的是信号塔的下标（为了方便记录答案以及通过下标查找高度）。

• 栈内下标对应的信号塔高度，从栈底到栈顶必须是严格递减（或非递增）的。

具体算法步骤：

1. 建立一个空栈s和一个结果数组a。

2. 从左到右遍历每一座信号塔i：

   • 比较与出栈： 如果栈不为空，且当前塔的高度h[i]严格大于 栈顶下标对应的塔的高度 h[s.top()]，说明当前塔i就是阻挡栈顶塔的"第一座高塔"。 将结果记录到数组：a[s.top()]=i，然后将栈顶元素弹出。 重复此过程，直到栈为空，或者当前塔不再高于栈顶塔。

   • 入栈： 将当前塔的下标i压入栈中，等待后续更高的塔来阻挡它。

3. 收尾： 遍历结束后，栈内剩下的下标对应的塔，意味着它们右侧没有任何比它们更高的塔。将它们的答案设置为0并弹出。

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时空复杂度分析

• 时间复杂度：O(n) 虽然代码中有一个for循环嵌套了 while 循环，但仔细分析会发现，每一座信号塔的下标最多入栈1次 ，出栈1次 。整体来看，while循环内部的执行次数总量不超过n。因此平摊到每次操作，时间复杂度为线性的O(n)。

• 空间复杂度：O(n) 最坏情况下（如给定的塔高度单调递减），所有塔都会入栈且不被弹出，此时栈占用的空间为O(n)。同时我们使用了一个大小为n的数组记录结果和高度。综合空间复杂度为O(n)。

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学生易错点总结

1. 栈内存下标还是存高度？ 这是初学者最容易犯的错误。栈中必须存下标 ，因为题目要求输出的是阻挡塔的编号（即下标），且我们需要通过下标去更新结果数组a[s.top()]=i。

2. 比较时的低级失误： 在while循环中，千万不要写成h[i]>s.top()。s.top()是下标，h[s.top()]才是高度！必须用高度和高度比较。

3. 全局数组的特性： 在C++中，定义在 main 函数外的全局数组默认初始化全为0。虽然利用这个特性可以省去最后一步清空栈并赋值为0的操作，但为了算法逻辑的严密性和可移植性，建议手动将残余栈顶元素的答案置为0。

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完整代码

//星际信号塔
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
int n;
stack<int> s;//单调栈  用于存储塔的下标（编号）
int a[200010];//a[i]代表阻挡i的第一座比i更高的信号塔
int h[200010];//存每座塔高度
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){//遍历n座塔
        //当栈不为空且当前塔高度超过栈顶塔时
        //说明我们找到了栈顶塔的"阻挡者"
        while(!s.empty()&&h[i]>h[s.top()]){
            a[s.top()]=i;//记录比栈顶塔高的第一座塔是i号塔
            s.pop();//栈顶塔找到答案 出栈
        }
        //直到栈空，或当前塔小于栈顶塔高度时，把当前塔入栈
        s.push(i);
    }
    //结束后，要把栈内剩下的都出栈
    //剩下的塔前方都不存在比它高的塔
    while(!s.empty()){
        a[s.top()]=0;
        s.pop();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}