摘要
美国墨西哥湾沿岸的德克萨斯州电网经常受到热带气旋（TC）的袭击，导致大范围停电，预计在全球变暖的情况下，这一风险将大幅增加。 在这里，我们介绍了一种新方法，将概率线路故障模型与德克萨斯州电网的网络模型相结合，以模拟高压输电线路风致故障的时空协同演化以及七个主要历史TC所导致的级联停电。 该方法允许重现观察到的电源故障。 此外，与现有的静态方法相比，它在识别故障可能引发严重供应短缺的关键线路方面具有显着优势。 我们表明，仅加固总线路的 1% 就可以将最具破坏性的停电类型的可能性降低 5 到 20 倍。所提出的建模方法可以代表迄今为止缺失的工具，用于识别有效的选项来加强电网以应对未来的 TC 袭击，即使在知识有限的情况下也是如此。
引言
现代社会严重依赖可靠的电力供应。 停电可能会扰乱交通和电信网络、供暖和卫生系统、食品配送的冷却链等。 根据停电原因和基础设施物理损坏程度，电网和依赖其的社会基础设施的恢复通常需要数天甚至数月。 此类停电通常是由极端天气事件造成的。 在挪威，90% 的架空线路故障是由极端天气造成的，其中包括强风、结冰和雷击。 2021 年 2 月，德克萨斯州的一场冬季风暴导致停电，进而导致天然气供应中断，从而导致供暖部门。 此外，热带气旋 (TC) 的影响尤其具有破坏性。 在夏季，美国墨西哥湾沿岸和东海岸经常受到热带气旋的袭击，导致大范围停电和数十亿美元的损失，北美电力可靠性公司的可靠性状况报告对此进行了详细说明。 例如，2008 年 9 月 13 日袭击德克萨斯州东南部的飓风艾克摧毁了约 100 座高压输电塔，并导致 280 万至 450 万用户的电力中断数周至数月。 2021 年 8 月 29 日，飓风艾达在路易斯安那州登陆，摧毁了向新奥尔良输送电力的主要输电线路，造成停电，影响了超过 100 万客户。
高压电网中针对线路故障的可靠性通常根据系统的 N-1（很少也有 N-2）安全性来讨论，即系统在一个或两个元件发生故障时保持完整功能的能力。 当线路出现故障时，潮流会自动重新路由通过完整的电网。 为了避免因重新路由而造成的过载造成的损坏，高负载线路会通过自动保护设备被移除，或者在某些情况下手动从网络中移除。 这些线路的二次故障可能会引发一连串的 15-21 次额外故障。 如果给出 N-1 安全性，则单线故障不会触发此类级联。 然而，多个并发故障（可能发生在 2003年美国-加拿大大停电中，以及 TC 的典型情况，导致广泛的主要损坏）可能会引发严重的次要故障。 这些级联在放大所造成的停电方面发挥着重要作用。
图1| 主线路故障和最终停电的概率分布。 a，风致线路故障总数 Np 的概率分布 ρ，由最近袭击德克萨斯州的 7 个热带气旋的概率线路故障模型生成。 风暴根据萨菲尔-辛普森等级（风暴名称后面括号中的数字）进行分类，登陆时未达到飓风强度的热带风暴用 TS 表示。 TC 根据分布 μp 的均值进行排序，分布 μp 表示为垂直实线。 飓风哈维 (105 条) 和飓风艾克 (90 条) 受损线路的平均数量非常接近高压（115 kv 至 500 kV）输电网的报告数量（哈维 106 条，艾克大约 97 条）。 b，TC通过后相关总停电Pout的概率分布。 垂直虚线 pr out 表示补充表 1 中列出的报告停电情况，垂直实线 Pout 表示平均值。 插图突出显示了影响较小的 TC 也可能发生的大型级联故障。 方法提供了模拟中使用的模型参数。 每个风暴在 a 和 b 中以相同的颜色呈现。
N-1 系统弹性方法无法扩展到此类事件。 即使是详尽的 N-5 安全评估也是不可行的，主要的 TC 往往会损坏数十甚至数百条线路。 电网无法完全减轻这些损害。 N-1 安全性通常通过模拟系统对每种可能的故障场景的反应来研究。 由于这些场景的数量随着故障数量呈指数级增长，因此考虑较大事件的所有可能场景在计算上是不可行的。
一些早期的研究使用负二项式回归模型和非平稳泊松过程等统计方法分析了TC破坏的线路的空间和时间模式。 然而，这些研究并未考虑这些损害对电网的影响。 为了弥补这一差距，应用机器学习技术来预测 2 公里电网上各种类型的风暴造成的停电，但这种方法没有提供有关这些停电如何发生或如何预防的信息。
最近从详细的机制角度研究了影响大量线路的 TC 引起的故障。 为了更好地捕捉主要损坏，这些工作侧重于开发复杂的线路故障模型。 然后通过一次性或大批量移除所有受损元件并使用最优调度模型来估计受损系统仍可提供多少负载来描述 TC 对电网的影响。 这需要（相当强的）假设有一个完美的、无所不知的系统操作员。 这种方法的另一个关键限制是这些模型的优化确保永远不会违反操作界限。 因此，这些模型无法捕获故障级联。
在这里，我们通过引入共同进化建模方法超越了现有文献。 它将时空随机线路故障模型与由此产生的停电的逐步建模相结合，考虑到自动或手动线路保护机制以及不可避免的生产过剩。 这种方法使我们能够 (1) 考虑 TC 轨道上大量潜在的线路故障，以及 (2) 评估级联二次故障。 此外，还可以识别高压输电系统中的关键电力线，其保护可以最有效地防止级联和相关的大范围停电。 从气候变化的角度来看，这一点尤其有趣，因为在全球变暖的情况下，北大西洋的强热带气旋的比例预计会增加
对德克萨斯州电网的级联损耗进行建模
我们的协同进化建模方法通过暂时解决主要风害和由此产生的级联二次故障，明确捕获极端风事件与电网的动态相互作用。 我们将使用这种方法来研究 2003 年至 2020 年间影响德克萨斯州电网的七个历史 TC。这些涵盖了不同类型的轨迹和强度（补充说明 1 和补充图 1 和图 2）。 选定的风暴包括主要飓风强度的TC，例如分别于2008年9月和2017年8月在德克萨斯州登陆的飓风"艾克"和"哈维"，摧毁了许多高压（115-500 kV）输电线路（据报道，"哈维"和"艾克"分别摧毁了约106条和97条线路）（图1a）。 此外，我们考虑了五个热带气旋，即飓风克劳德特（2003年）、汉娜（2020年）和劳拉（2020年）以及热带风暴艾琳（2007年）和赫米恩（2010年），它们对德克萨斯州电网造成的损害较小，要么是因为它们的强度要弱得多（例如，艾琳和赫米恩），要么是因为它们主要影响邻近州（例如，在2010年登陆的汉娜）。 路易斯安那州）。 这里考虑的 TC 影响了德克萨斯州电网的不同部分； 克劳黛特、艾琳和汉娜登陆后继续向西移动，影响了电网的南部和西部地区。 其余考虑的热带气旋在登陆后受科里奥利效应引导向北移动，主要影响电网的西部地区。
当热带气旋袭击电网时，线路不会同时崩溃，而是在热带气旋通过的数小时或数天内依次崩溃。 利用线路破坏的时间顺序，我们将每个考虑的 TC 登陆场景划分为一系列 5 分钟的时间步长。 在大多数这些单独步骤中，只有一条附加线路发生故障，也就是说，这些情况可以通过也用于 N-1 或 N-2 安全评估的配电模型来解决。 在这个分辨率下，也可以合理地假设，在 TC进一步破坏线路之前，二次故障的级联已经完成（关于时间分辨率的进一步讨论在方法和补充说明 9 中）。
我们通过使用保守的负载平衡假设（方法和补充说明 3 和 4）以直流 (d.c.) 功率流近似表示德克萨斯州电网来解决各个场景。 我们的共同进化方法使我们能够解释解决方案的"路径依赖性"：每次线路崩溃时，过载保护都会导致更多线路发生故障。 与此同时，控制机制立即启动，以恢复能量平衡并限制故障的影响（补充说明4）。 如果电网的孤岛部分无法重新平衡，则该部分及其中的所有线路都被视为失败。 随后沿 TC 轨道发生的主要损坏随后会遇到部分损坏、重新平衡的网格。 因此，后来的失败的影响可能会更大，甚至会更小。 正是这些中间、部分破坏状态的恢复能力最终决定了 TC 的影响是否会因二次故障而放大。
不幸的是，关于暴露电网的拓扑结构、被TC破坏的电线的确切数量和位置以及断电的消费者类型的详细信息都无法公开获取。 在这里，我们使用 Birchfield 等人提出的德克萨斯电网综合模型，其中包括四种不同的高压电平：115、161、230 和 500 kV（参考文献 46）（方法和补充图 2）。
图2| 模拟克劳黛特飓风在德克萨斯州电网引发的级联故障。 a，断电 Pout 和未供应总能量 Eout（红色区域）在 TC 通道之前（预应急）、期间（飓风阶段）和之后（恢复阶段）的示意图变化（大致基于参考文献 38）。 b，克劳黛特飓风模拟停电轨迹的所有实现总结。 轨迹分为两类：随着时间的推移逐渐累积损害的轨迹（类型 I）和包含大型级联的轨迹（类型 II）。 c,d，图 b 中突出显示的两个示例性 I 型和 II 型轨迹的 TC 通道开始和结束时的电网状态。 黑色显示的线路在 TC 通过期间被破坏（初级损坏）或停用（次级故障）（补充视频 1 显示了模拟过程中的故障结构）。 其余线路的颜色代码表示相对线路负载，颜色较深表示相对负载较高。 蓝色虚线表示风暴中心的轨迹，蓝色箭头表示风暴移动的方向。 蓝色阴影圆圈表示风暴风场的快照，颜色较深表示风速较高。 方法和补充说明 5 提供了模型参数的规范以及克劳黛特通过期间的级联故障和负载动态的动画。
所采用的概率线路故障模型是由所研究的 TC 的历史风场模型决定的（方法和补充说明 2）。 线路故障的概率用风速来描述，并允许生成线路故障序列的时间解析实现的大样本，这里每个风暴 10,000 个序列。 这些场景对于个别故障线路而言差异很大，因此涵盖了广泛的可能场景（图 1）。 在这里考虑的默认设置中，我们假设所有传输线路的基本故障率相同。 这是我们的主要校准参数，经过调整以重现观察到的受损线路数量并匹配停电情况（图 1a、b 和补充说明 5）。 通过观察另外五场较弱的风暴，我们发现我们的建模结果与输电网停电和罕见损坏的包容性报告一致（补充说明 5 和补充图 10）。
停电的结构
由于强风造成，主要损害集中在靠近风暴中心的区域，主要线路故障数量服从泊松二项分布。 然而，对于所有七个TC，由于过载保护和不可避免的孤岛效应而导致的级联二次故障大大增加了受影响线路的总数，并可能导致20吉瓦至30吉瓦的大规模停电（图1b）。 作为德克萨斯州人口最多的城市和主要负荷中心，休斯顿电网断电导致大量消费者断电。 许多为主要负荷中心提供能源的发电机集中在德克萨斯州西部。 最大的事件是这两个区域都离线（图 2d 和 3，补充说明 5 和补充图 9）。 较小的事件（图 2c 和 3a、d、g）往往显示出更局限于风暴路径的损害模式。 对于所有TC来说，由此产生的总中断的分布在很大程度上是多模式的（图1b）。
大规模停电不会随着时间的推移逐渐累积。 相反，休斯敦负荷中心和西北生产中心在一次大级联期间突然断电（图2b）。 在空间上，值得注意的是，这些级联故障可能导致未直接受风暴影响的区域停电（图 4 比较了飓风哈维造成的初级损坏和级联、次生故障的空间分布）。 例如，哈维、汉纳和克劳黛特期间，西北地区没有强风（图3）。
为了测试我们的结果在模型校准细节方面的稳健性，我们对各种故障率进行了重复模拟，并对每条生产线的故障率进行了随机化（补充注释 5 和 6）。 此外，我们对每个风暴使用了 10,000 个实现的大型集合，以确保它代表广泛的合理网格状态。 我们发现级联故障动态的主要特征，例如突发大型级联的发生和多模式停电分布，是稳健的（补充表3）。 例如，根据国家环境信息中心最近的分析47，在所有参数设置中，我们发现哈里斯县是德克萨斯州电网中最容易受到TC影响的部分。 这些发现表明我们的主要结果与线路故障模型及其校准的细节无关。
图3| 总停电分布中不同部分的线路故障概率。 a-i，概率 pe 表明给定电源线的故障涉及 Harvey (a-c)、Claudette (d-f) 和 Hanna (g-i) 的三种不同停电分布模式。 S 代表德克萨斯州南部社区，W 代表德克萨斯州西部地区。 模式由插图指示，并且所考虑的停电的确切范围显示在这些插图下方。 概率 pe out 计算为所考虑线路发生故障的指定范围内总中断的实现数量除以指定范围内的实现总数。 德克萨斯州电网的不同元素根据各自的停电概率进行了着色。 插图中显示的概率分布与图 1b 中显示的概率分布相同。
图4| 飓风哈维引起的初级损坏和次级故障的概率。 传输线根据最可能的线路状态进行着色。 蓝线很可能直接被强风损坏（主要损坏），而红线很可能由于级联次生故障而失效。 灰线保持运行的可能性比由于主要损坏或次要故障而失败的可能性更高（补充说明 5 提供了有关模型校准的详细信息）。
增强弹性
我们发现大型级联是由个别线路的故障触发的。 这表明加固那些可能引发级联的线路（例如，用地下电缆替换它们）可能是一种有效的弹性建设策略。 为了确定应加固的关键线路，我们将优先级指数定义为该特定线路的风致损坏触发大级联的概率，即使停电增加超过 15 GW 的级联，对所有七个 TC 进行平均（方法中的等式（2）和（4））。 对于大多数输电线路，优先级指数为零，但其中 8% 的优先级指数高于 10−4 ，并且 20 条线路（约占电网的 1%）的优先级指数高于 10−3 。
为了进行比较，我们还根据传统的静态模型计算优先级指数，其中所有损害都立即应用。 然后，与优先级索引类似，将线路的静态索引定义为大停电的条件概率，假设该线路位于由 TC 损坏的线路组中（方法和补充说明 7）。 根据协同进化模型和静态模型，临界线大多位于休斯顿及其周边地区（图5a、b）。 然而，协同进化模型还识别出不在静态模型识别的区域中的几条关键线。
为了估计模型识别关键线路的效果，我们考虑通过强化所识别的线路来相对降低大停电的概率。 我们根据优先级指数对线路进行排序，并在对最关键的1到20条线路进行加固后评估TC对系统的影响。 当硬化线路数量增加时，大面积停电的概率会平稳降低。 在强化协同进化模型确定的 20 条最关键线路后，大规模停电的概率降低了 5 至 20 倍。较小的风暴很少再引发大规模停电和级联故障，而最具破坏性的风暴"哈维"和"艾克"的概率也大大降低（图 5 和补充图 12）。 Harvey 和 Ike 造成的停电分布从第二个峰值（Pout ~25 GW 左右）转移到 Pout ≤ 10 GW 的第一个峰值（图 5c）。
根据协同进化模型得出的优先级指标对线路进行加固所达到的停电减少水平通常高于根据静态模型得出的优先级指标选择的相同数量线路的保护（图5d）。 静态模型允许识别一些最关键的线路（补充说明 7），但大停电概率的边际减少在 6-10 条线路后已经饱和。 对于共同进化模型，额外的强化持续有效，直到至少 20 行（图 5c，d）。 这表明后者及其部分被破坏状态的详细图片揭示了增强系统弹性的真实且关键的信息。 当假设随机故障率时，这些结果是稳健的（补充说明 5）。
结论
引入了德州电网的协同进化模型，作为一种在时间上解决TCS引起的线路故障和二次停电的有效方法。该模型可以相当详细地描述连锁次级故障如何通过触发大规模停电来放大这些风暴的影响。因此，它可以用来确定应该保护的关键线路，以有效地提高系统的弹性并防止最严重的停电。
我们的模型远远超出了现有技术的水平，统计和经济模型只能捕获事件和网络的静态图片24-33。 我们已经证明，这种静态方法不允许在扩展事件期间识别所有关键线。 相反，我们看到，通过观察处于部分破坏状态的大集合中的系统，即通过"跟踪"系统的破坏以及相关的停电和故障线路来揭示关键性。 我们预计这种共同进化方法也将成为理解和保护遭受时空扩展极端事件的其他电网的有前途的工具。 然而，这项研究存在一些局限性。 首先，TC 损害不仅仅由风引起，而且不仅仅损害输电网线路。 洪水在风暴破坏中起着重要作用，而配电层对变电站和变压器的破坏没有直接考虑。 此外，电网运营商确实可以预测并为即将到来的风暴做好系统准备，并且可以对地面条件做出反应，而不仅仅是我们在这里使用的简单重新平衡。 为了充分了解停电的社会影响，了解停电后系统恢复的速度也至关重要。
其次，我们无法获得德克萨斯州电网的真实拓扑和参数。 根据既定的研究实践，我们使用了高质量的替代模型，该模型有望很好地反映德克萨斯州电网的电气和空间特征46,48。 尽管如此，很明显，在比较 TC 对替代电网和真实电网的影响时，我们应该预见到差异。 此外，考虑到过去几十年来只有极少数强热带气旋在德克萨斯州登陆，并且考虑到损害的内在随机性，与历史条件的精确匹配并不是一个合适的目标，并且很可能导致过度拟合。
第三，考虑到这些数据限制，我们在这里介绍的线路故障模型故意保持相当抽象。 从数学上讲，唯一的假设是输电线路段的故障率与平均风速及其长度的平方成正比。 比例因子是通过整个模型的校准确定的，因此也会在一定程度上反映发生的其他类型的故障。 整体模型不应被解释为风暴事件的完全现实的机制模型，而是在存在相当大的建模和数据不确定性的情况下成功揭示电网脆弱性的结构方面的权衡。
虽然基于风速和历史 TC 轨迹的模型已经确定了网格中的关键结构，但共同进化方法自然可以扩展到更复杂的模型和更广泛的设置。 关键的第一步是将这种方法应用于德克萨斯州的真实电网拓扑。 扩大模型的另一个重要途径是考虑热带气旋引起的洪水（沿海洪水、雨洪或河流洪水）和相关破坏。 这些可能遵循不同的时间模式，必须重新测试此处提出的方法的充分性。 这也将为评估真正的复合事件提供第一步，其中网格的多个应力同时发生。
此外，将确定关键线路的优先级指数与有关加固所考虑线路的成本的附加信息相结合，还可以确定最具成本效益的方法，以将停电概率降至预期值以上的临界极限（补充说明6）。
最后，由于在全球变暖的情况下，北大西洋极强飓风的比例预计将增加49，未来研究的一个重要目标是（1）绘制德克萨斯州电网（和其他脆弱电网）的TC风险的相关变化，以及（2）评估适应措施的好处和局限性。 这可以通过在不同全球变暖水平下驱动未来热带气旋合成轨迹集合的共同进化模型来实现35。
方法 德克萨斯州电网数据
在这项研究中，我们使用了公开的电网测试用例 ACTIVSg2000（参考文献 48），该用例覆盖了所谓的 ERCOT 互连区域，该区域满足德克萨斯州 90% 的电力需求48。 该测试用例是综合的，但类似于真实电网的基本属性，例如发电和需求的空间分布50。 它包含 2,000 辆具有地理位置的公交车、3,116 个分支（包括输电线路和变压器），并涵盖四种不同的电压等级。 该测试用例包含所有必需的电气参数，从总线的功率注入到传输线和变压器的功率流容量。 流量 Cij 对于级联故障的模拟起着特别重要的作用，因为它们决定了单个线路和变压器可以传输的功率量，而不会损坏设备。
历史热带气旋数据
TC 风暴轨迹是从国际气候管理最佳轨迹档案 (IBTrACS)47,51 中提取的，作为气旋中心坐标的时间序列以及 3-6 小时快照基础上的最大持续风速和最小气压等气象变量。 根据跟踪记录，我们使用表面风的 Holland 模型（在 Python 包 CLIMADA36,52 中实现）计算风暴中心半径 300 公里范围内的风场时间序列，空间分辨率为 0.1°（约 11 公里），时间分辨率为 5 分钟。 所考虑的风暴的强度也沿补充图 1 中的各自轨迹显示，而风暴的其他属性列于补充表 1 中。
输电线路故障模型
为了模拟风引起的输电线路故障，我们首先区分德克萨斯州电网中的架空输电线路和地下电缆。 根据 Birchfield 等人的研究，我们分析了长度短于 12.875 公里（8 英里）的线路，并作为地下电缆连接了至少 200 MW 的总负载46。 所有其他线路均假定为架空输电线路。 然后将后者分为长度 l ≈ 161 m 的段，这对应于德克萨斯州输电塔之间的平均距离53。 我们将分段故障建模为泊松过程，其随时间变化的速率 r(vt ) 取决于分段所经历的平均风速。 参考文献中考虑了类似的数学设置。 27； 然而，它们并没有尝试对故障率的空间特征进行建模，而是在空间上进行聚合，得出纯粹的时间模型。 为了说明故障模型的这种数学形式的含义，我们快速回顾一下恒定速率 r 的泊松过程的一些属性。 对于此过程，失效时间分布为 re−rτ，平均失效时间为 1/r。 线路在时间 τ 之前发生故障的概率仅为 1 − er.τ。 如果 rτ 很小，则概率可以很好地近似为 r.τ。 为了模拟这个过程，我们以时间步长 τ 对其进行离散化。 由于风场相对于我们的时间步长变化缓慢，我们只需将时间步长期间的速率固定为其初始值。 那么，在持续时间为 τ 的步骤中，线段 k 经历 v_t 风的失效概率由下式给出：
pk(vτ)=r(vt)τp_k(v_τ)= r (v_t) τpk(vτ)=r(vt)τ
根据式（1），不同线段同时失效的概率随着时间步长τ的增加而增加。 关于时间分辨率的作用的进一步讨论可以在补充说明 9 中找到。为了获得故障模型，我们修复了 r 对 v 的函数依赖性，然后根据实际数据校准总体速率。 Winkler等人建立的线路故障模型。 假设失效概率与风力和破断力之比成正比54。 根据美国土木工程师学会发布的指南55，风力 Fk 风 (v) 是 v 的二次方，我们采用这种依赖性来计算故障率，得出故障模型pk(vt)=c(cal)(vt2)τp_k (v_t) = c_(cal)(v^2_t)τpk(vt)=c(cal)(vt2)τ。 ccal 经过校准，可重现 Harvey 和 Ike 的输电线路中断次数（补充说明 5）。
为了确保我们的校准达到合理的值，我们插入了 Winkler 等人的物理常数。 得出故障模型的形式：
参数Fbrk代表断裂力56。 然后根据 rbrk 进行校准，即风场等于破断力时的故障率。 完整的风力方程以及所有参数的含义和值可以在补充说明2和补充表2中找到。在正文中显示的所有图中，rbrk = 0.002 h−1，我们认为这是合理的，因为即使在持续数小时的强风暴期间，大多数输电线路也不会发生故障。 最后，我们观察到校准模型在我们考虑的所有风暴的模拟中重现了停电情况（补充说明 5）。
为了排除对该模型细节的强烈依赖，我们还考虑了一个线段失效概率具有随机局部变化的模型 pk (vt) = ccal,randomvt 2τ ，其中 ccal,random 在合理范围内均匀绘制（补充注释 5）。
级联故障模型
风引起的线路故障可能会引发电网分支的级联过载故障。 由于级联故障通常在比风场时间分辨率 τ 更小的时间尺度上演化，因此我们可以假设时间尺度分离。 当网络拓扑因一次损坏事件而改变时，分支上的功率流 Pij 将使用直流电重新路由。 潮流模型
这里 Pi 是母线处的净有功功率注入，θi 是母线电压角，Bij 是构成网络拓扑的节点电纳矩阵的元素。 有关 d.c. 假设的更多详细信息 潮流模型和所使用的软件可以在补充说明3中找到。如果网络的新状态表现出任何过载分支（|Pij | > Cij），则它们将被停用并重复该过程。 当网络达到没有过载的状态时，算法前进到下一个主要损坏事件。 当负载或发电机断开或电网分成几个部分时，必须在每个网络组件中恢复全局有功功率平衡。 在实际电网中的主频率控制的推动下，我们统一调整发电机的输出，同时尊重数据集中定义的输出限制。 每当发电机限制不允许我们完全恢复全球有功功率平衡时，我们要么进行统一的最小减载，要么在不可避免的生产过剩的情况下考虑整个网络组件的停电。 补充说明 4 中解释了该算法的详细信息，代码可从 https://doi.org/10.5281/zenodo.10077864 获取。
断电的量化我们使用以下三个不同的量来跟踪模拟中出现的断电情况：（1）PL（t）分别表示每个时间步（t）结束时的总供电负载（L），即级联算法完成后； PL是停电轨迹。 它是通过将给定时间存在的所有岛屿上的所有连接负载的需求相加来计算的。 因为我们的共同进化模型假设级联故障是瞬时发生的，所以 PL (t) 代表每个单独 TC 场景的阶跃函数，如图 2b 所示。 我们为每个 TC 模拟了 104 个场景。 (2) 任何实际上导致所提供负载损失的级联故障都会导致 PL (t) 中尺寸 ΔP out 的垂直转变（图 2a、b）。 对于图 2b 中突出显示的情况，这样的转变用 ΔP out 进行注释。 (3) 给定 TC 场景中触发的所有级联故障都会导致最终断电 Pout = PL init − PL Final ε (0GW, 67.1GW)。 图 1b 显示并讨论了 Pout 的有趣统计数据。
关键线路的识别 我们通过为每条线路 (i,j) 定义的优先级索引来识别关键架空输电线路：
其中 H 表示考虑的 TC 集合（本研究中的 7 个 TC），pij (II ) 是由线路 (i,j) 的风致故障触发大级联的概率。 更具体地说，如果级联相关的停电 ΔP out 高于 15 GW 的经验阈值（在图 2b 和图 5d 中表示为类型 II），我们将级联称为大级联。 等式 (4) 包括对所有考虑的 TC 进行平均，以辨别对多个 TC 至关重要的线路。 这使我们能够提出线路加固方案，不仅提高特定 TC 的弹性。 补充表 3 列出了本研究中发现的 20 条最关键线路的一些特性。图 5a、b 显示了这些线路的位置，并表明加强它们确实可以大大提高电网的弹性。 补充说明 6 讨论了关键线的更多细节以及将经济因素纳入我们的分析的可能性。
基线法
在这里，我们应用静态模型作为基线方法。通过静态模型(补充注7)，我们的意思是所有主要损害同时发生，然后是华盛顿特区。功率模型和全局有功功率平衡被激活一次，以恢复系统中的能量平衡，并评估总的最终停电功率。如补充说明9所述，最终停电分布与风场的时间分辨率无关，但导致大规模停电(即20GW至30GW)的主要损害可能是完全不同的损害。为了指示从静态模型获得的临界线，首先，我们将Pout>；15GW的所有场景分开。然后利用方程(4)计算导致大的梯级的初级损伤的优先指数。在补充表4中列出了优先级指数最高的前20行。从本表中可以看出，除了用红色突出显示的6行外，其他行与从协同进化模型获得的行完全不同。
数据可用性 IBTrACS47,51 观测到的 TC 在世界气象组织开放数据许可下通过 IBTrACS 网站 (https://www.ncei.noaa.gov/products/international-best-track-archive) 分发，并且可以通过 CLIMADA36,52 平台直接检索。 电网数据可从德克萨斯 A&M 大学的电网测试用例存储库 (https://electricgrids.engr.tamu.edu/electric-grid-test-cases/activsg2000/) 公开获取。
代码可用性 重现本工作中的发现所需的所有代码都是公开可用的。 使用开源平台 CLIMADA35,48 计算随时间变化的风场。 输电线路故障和直流故障的实现 功率模型可从 https://doi.org/10.5281/zenodo.10077864 和 https://gitlab.pik-potsdam.de/stuermer/itcpg.jl 获取。