GESP 2026年3月C++三级（二进制回文串）

202603-1 二进制回文串

题目描述

对于一个正整数 nnn，我们将其转换为不含前导零的二进制表示，如果这个二进制序列从左向右读与从右向左读完全相同，则称该数为二进制回文数。例如，999 的二进制表示为 (1001)2(1001)_2(1001)2，是二进制回文数；121212 的二进制表示为 (1100)2(1100)_2(1100)2，不是二进制回文数。

你的任务是：给定一个正整数 nnn，计算在 111 到 nnn 的范围内二进制回文数的数量。

输入格式

输入一行，包含一个正整数 nnn。

输出格式

输出一行，包含一个数，表示在 111 到 nnn 的范围内二进制回文数的数量。

样例输入 1

15

样例输出 1

6

提示

【样例解释】

样例 1 中，111 到 151515 范围内 111、333、555、777、999、151515 是二进制回文数。

【数据范围】

1≤n≤1051 \leq n \leq 10^51≤n≤105

解题思路

方法：数位翻转比较法

直接遍历 111 到 nnn 的每个数，将其二进制表示从低位到高位依次取出并重新组合成一个新的数 mmm，如果 mmm 与原数相等，则说明该数的二进制表示是回文的。

核心思想：

• 将原数的二进制位从低到高依次取出（j%2j\%2j%2）
• 同时将取出的位按从左到右的顺序重新组合（m=m∗2+j%2m = m*2 + j\%2m=m∗2+j%2）
• 最终 mmm 就是原数二进制表示的翻转，若 m==im==im==i，则为回文数

代码解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, cnt = 0;
    cin >> n;
    
    // 遍历1到n的所有数
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = i, m = 0;
        
        // 将i的二进制位从低到高取出，同时构建翻转后的数m
        while (j) {
            m = m * 2 + j % 2;  // 取出最低位，添加到m的最高位
            j /= 2;             // 移除最低位
        }
        
        // 如果翻转后的数等于原数，说明是二进制回文数
        if (m == i) cnt++;
    }
    
    cout << cnt;
    return 0;
}

样例验证

数字	二进制表示	翻转后的值	是否回文
1	1	1	✓
2	10	01=1	✗
3	11	11	✓
4	100	001=1	✗
5	101	101	✓
6	110	011=3	✗
7	111	111	✓
8	1000	0001=1	✗
9	1001	1001	✓
10	1010	0101=5	✗
11	1011	1101=13	✗
12	1100	0011=3	✗
13	1101	1011=11	✗
14	1110	0111=7	✗
15	1111	1111	✓

结果：共6个二进制回文数（1、3、5、7、9、15）

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