0.简介
二分算法的特点是：最恶心，细节最多，最容易写出死循环的算法，但是掌握后会发现它可变为一个最简单的算法。我们以前总认为二分查找只能用于数组有序的情况，真正掌握后会发现就算数组无序也能用二分算法。需要注意的是不要死背模板，理解后再记忆。
1.二分查找
704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）
https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/
题目给了我们一个数组，给了我们一个数，让我们在数组中找出这个数，找到了返回这个数的下标，找不到返回-1。暴力解法就是从左往右遍历这个数组一遍，当我们找到这个数时停止遍历操作，此时返回这个数的下标。暴力解法每一次比较只能舍弃一个数，因此最差情况是从头到尾遍历数组一遍，所以暴力解法的时间复杂度是O(N)。接下来看如何优化，暴力解法并没有用数组有序的特性，接下来用题目中说的数组升序的特性来解决一下该问题。比如：
随便拿4和t比较，发现4是小于t的，此时可发现一个事情。由于升序4左边区间数小于4，4又小于t，那4左边的这一匹数全都比t小，所以可把这段去了，再去5678这一段找结果就行。再比如前面找的数是7，此时7>t，由于升序7右边的一批数全都比t大，所以可把7右边这些数去了，再去剩下的区间寻找。总结一下这个规律：在数组中随便找了个数和t比较，做完比较后划分出了两个区域：
根据规律可以有选择性的去掉一个区间，然后去另一个区间去寻找，此时就称这个题是有二段性的，有二段性就可用二分查找来解觉这个问题。
因此二分算法的本质是当属=数组有二段性时，二段性是当我们发现一个规律，依据规律选取某一点后数组分为两部分，依据规律可有选择性的舍去一部分而在另一部分继续查找，就可用二分查找算法。那二分查找算法具体是什么呢？从前面的规律中抽象一下，假设横线为一个数组，我们刚开始是随便找了个数，我们第一步可有很多选数的方法：
不管找那个位置都可把区间分为两段，一开始有很多的划分选择，但我们还是选第一个中间位置。这是个概率学问题，记住选中间点时间复杂度最好就行了：
接下来总结一下规律，因为要频繁的找中间和确定接下来要找的区间，所以可定义一个left指针指向区间左端点，right指针指向区间右端点，mid来表示区间的中点。中间的点的值设为x，x和t有三种关系：1.x<t，因需要求left更新到mid+1的位置，到接下来的left和right区间找。2.x>t，仅需让right更新到mid-1位置，到接下来的left和right区间找。3.x==t，返回结果。这三步骤就是朴素二分查找算法的核心，把这三步转化为代码就是二分查找算法。
接下来讲解细节问题：(算法要不断变化区间去找)1.循环结束条件。2.二分查找算法为什么是正确的。3.时间复习度。1：left>right时结束循环，因为区间数是未知的，就算一个区间也要判断。2：因为从暴力解法优化来的，一次可以排除许多暴力解法的可能。3：看循环执行多少次，当循环一进，要找的区间就会对半，因此是logN。求中间有两种方式：1.(left+right)/2，这样可能在数据大时有溢出的风险。2.left到right区间长知道后仅需让left走区间长的一半，left+(right-left)/2，这样可防止溢出。下面来实现：
下面总结一下朴素二分查找的模板：
2.在排列数组中查找元素的第一个和最后一个位置
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/description/ 先想一下暴力解法，从前往后遍历，第一次遇到t时用一个begin标记一下，往后遍历找到末尾位置用end标记一下，返回begin和end就可以了(O(N))。接下来优化一下暴力解法，可以利用数组有序的特性。上一个题数组有序找一个数用的是朴素二分算法，这里尝试用朴素二分来解决问题：
先来一个左指针，再来一个右指针，然后计算它们中点，根据中点的位置来分情况讨论。在这道题中用这样的方法解决问题时间复杂度会很高，这里一开始找到mid也就找到t了，但不能确定这个值正好是起始位置或终点位置。因此还要前面找终点，后面找起点，这样时间复杂度是O(N)。因此要想一个更优秀的策略，依旧是二分且利用数组的有序特性，只不过朴素二分基础上对我们二分策略做一下优化。先回到二分的本质，当我们发现二段性规律就可以利用二分查找，下面看这道题中有无二段性：我们不能同时找开始位置和结束位置，所以先来解决查找区间的左端点：
现在想找左端点，能否根据这个点的情况把数组划分为两部分呢？可划分为左区域和连带这个数的右边区域，左区域都是小于t的，右区域都是大于等于t的，因此有二段性，可以用二分：
1：x<t，left更新为mid+1，然后到新的[left,right]区域寻找结果。2：x>=t，right更新到mid的位置，接下来去新的[left,right]区间更新结果。下面来看细节处理：1.循环条件：
若是上图第二种的情况执行循环，为啥呢：
一段区间会有上面那样三种情况，若是情况一，假设结果在这里：
left刚开始处于没有结果的不合法区域，right刚开始在合法区域，在上述操作中，right一直在合法区域，left一直想跳出不合法区域，当right等于left时就是最终结果，无需判断。若是情况二，当全部大于t时，right只会向左边移动，直到移动到left和right相遇为止，最终只需要判断是否等于t就行。若是情况三，当全部小于t时，left一直右移，相遇时判断是否为t，相遇时会判断是否为t。这三种情况包含了所有情况，都说明left==right时无需再进循环了，如果判断了就会死循环。2：求中点操作：
这两种方式的区别是当数组是偶数时：
在朴素二分里都可以，这里不可以，比如：
剩下两个元素时，用方式2求mid在right这里。二段性把数组划分成了两部分，若是第一个条件x<t，left会移到mid+1的位置，判断会结束；若mid是第二个条件x>=t，right等于mid会一直不动，陷入死循环，所以用第二种方式求中点会陷入死循环。第一种求中点求的是一个左端点(相较于中间来谈)，这样遇到遇到条件1left右移和right相等就终止循环了；若是条件2right更新到mid位置相等也是终止循环。
再来解决查找区间的右端点：
根据右端点依旧可以把区间划分为两部分，左边区间全都是小于等于3的，右边区间都是大于3的，有二段性就可以利用二分：
1：x<=t时，left更新到mid位置，继续到新的[left, right]中找。2.x>t，mid落在右边区域，right更新到mid-1位置，继续去新的[left,right]找。下面看细节处理：1.循环条件：left<right(原因和前面一样)。2.求中点的方式：
当最后剩两个元素时，第一个方式mid在left这里，若中了方式1left一直不动是死循环，所以用方式二。遇到方式1left到mid位置终止循环；遇到方式2right到mid-1位置也会终止循环。下面来实现(优化：找到左端点后下一次可直接从左端点开始；数组为空特殊处理)：
下面来总结一下模板(仅需记住求mid这里，下面出现-1时就+1)：
3.x的平方根
69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/sqrtx/description/ 先想一想如何用一个暴力解法来求一个数的平方根？结果只要求保留整数，因此可以从1，2，3......开始算出每个数的平方，算出后一个个试，若试到第一次大于这个数时返回前一个数，试到等于这个数时返回这个数。比如：
从暴力解法中我们会发现这个数组是有序的，那看看能否发现二段性进而将暴力解法改为二分查找。在上述暴力解法中，结果是4或6这样的情况，这两个数的特点是要么这个数平方小于x，要么这个数的平方等于x。因为数组是有序的，我们用线抽象一下这些数：
若ret是最终结果，发现从ret开始的所有往左的区域的数的平方都是小于等于x的，ret往右的区域的平方都是大于x的。因此发现了二段性，最终结果会把整个数组分为两段区间，左区间平方后都<=x，右区间平方后都大于x，所以可以用二分查找来解决问题：
定义left和right，根据中点来分类讨论(查找区间是从1到x)：1.mid*mid <= x，left更新到mid位置，因为mid可能正好是x。2.mid*mid > x，right更新到mid - 1的位置。分析完这些就可套模板实现了(处理细节：题目范围表明x可能是小于1的，0.xxx的平方根还是0，直接处理)(正常判断mid等条件：mid = left+(right-left)/2，最后判断出减法上面就+1)(数据量大不敢int直接乘，longlong防止溢出)：
4.搜索插入位置
35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/
这道题中有两种情况：1.恰好可以找到目标值target。2.找不到恰好要插入的位置，插入位置恰好出现在第一次比它大的数的前一个位置或数组的后面。所以最终要找的值是大于等于t的，所以可把数组划分为两部分：左边区域都小于t，右边区域都大于等于t。接下来用查区间左端点的模板解决，下面来分析一下mid：
1.x<t，让left更新到mid+1，在新的left和right找。2.x>=t，right更新到mid位置。下面来实现(先正常求中间值，没出现减法不写加法)(超出数组处理一下)：
5.山脉数组的封顶索引
852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/peak-index-in-a-mountain-array/description/山脉数组的意思是里面的数都是先上升，再下降的：
找的是峰顶，返回下标。先想一个暴力解法：把数组抽象成折线：
上升的数用圆圈表示，下降的数用三角表示(找封顶最左边和最右边的元素不用考虑)。定义一个指针指向开始的位置，若指向的位置小于后一个数，肯定不是峰值，就让指针指向后一个位置......当找到一个数大于后面的数，那这个数就是峰值，这样下来时间复杂度是O(N)。接下来看看怎么优化：发现走完折现数组被天然的分为了两段，左边从第二个数开始都是大于前一个数的，右边(不算封顶)从上面开始都是严格的小于前一个数。也就是左边的特点是arr[i] > arr[i-1]，右边的特点是arr[i]<arr[i-1]。依据这样的特点可以把数组分为两部分，既然有二段性就用二分查找。下面来分析：
1.若arr[mid]>arr[mid-1]，则在左区域，left更新到mid。2.若arr[mid]<arr[mid-1]，r则落在右区域，把right更新到mid-1。下面来实现(细节：1.排除第一个和最后一个 2.先不管mid，然后结合情况看是否+1)：
6.寻找峰值
162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/find-peak-element/description/ 先想一个暴力解法，从数组起始位置开始(下标为0)寻找山峰：1.要么直接往下走：
也就是当前位置的值大于下一个位置的值，就不用再走了，因为最左边是负无穷，这个位置就是峰值直接返回。2.发现开始是上坡的：
当发现从一个位置开始出现下降的时候，就是当前位置的值大于右边位置的值时候，返回这个位置的值。3.还有样的情况：
一直走走到了n-1的位置，此时返回山峰。暴力解法就是从第一个位置开始，一直向后走分情况讨论即可O(N)。接下来优化暴力解法：
这是一个数组，我此时选择了i的位置，根据这个位置和下一个位置特点可分情况讨论：1.arr[i] > arr[i-1]，此时是一个下降的趋势，说明i及左边区域一定有一个上升的趋势，因为最左边是负无穷，左边区域一定有最终结果，但右边区域不一定，因为下降可能下降到负无穷大，所以接下来可去左边区域寻找结果。2.arr[i] < arr[i-i]，此时是一个上升的趋势，左边可能没最终结果，可能由负无穷一直上升；右边一定存在最终结果，因为会降到负无穷，接下来可去右边区域寻找结果。结合以上发现了二段性：依据两个值的关系把数组分成了两段，所以可用二分查找。接下来分情况：
1.arr[mid] > arr[mid+1]，左边一定有，right更新到mid。2.arr[mid] < arr[mid+1]，右边一定有，让left更新到mid+1的位置。下面来实现：
7.寻找旋转排序数组中的最小值
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/暴力解法就是从前往后遍历，找到最小值O(N)。下面来优化，把旋转完的数组可以抽象为一个折线图，可分为两段：
题中说了数严格的不同，所以AB段严格的在虚线上，CD段严格的在虚线下面。以D为参照物，AB中每个值都大于D这个值，CD中每个值都是小于等于D这个值的，仅需找到C位置就是最小值。这样符合二段性，所以查某个区域的某个端点，用二分查找。二分查找体现在AB是严格的大于D值的，CD是严格的小于D值的。AB：nums[i] > nums[i -1]，AB段的所有元素都是大于D的；CD：nums[i] <= nums[n-1]，CD段的所有元素都是小于等于D的。下面分情况讨论：
mid在AB区间：nums[mid] > nums[n-1]，left到mid+1位置；mid在CD区间：nums[mid] <= nums[n-1]，right到mid的位置。(还可以尝试选择A点为参照物，这样AB：nums[i] >= nums[0]；CD：nums[i] < nums[0]，但注意一直上升时的边界情况)下面来实现：
8.0~n-1中缺失的数字
LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/description/ 题目意思是如果数组长为3，说明在0~2中缺了一个数。这道题有很多方法：1.哈希表：建立n+1大小的哈希表，遍历原始数组然后往哈希表中填，填完后看哪个位置没有填到那个位置就是缺失的数字。2.直接遍历找结果，看看从哪个地方断开了。3.位运算，用异或操作，把所有数组异或一遍，最后剩下单独的。4.高斯求和，把没有缺少的一组和算出来，然后依次减原数组的数。以上方式都是O(N)。5.二分：
虚线左边数组中的值和下面一一对应，虚线右边不是一一对应，所以有二段性。要找的最终结果是右区间的最左边的部分下标，因为开始对不上了，说明是缺失的值。下面细化一下：
1.若nums[mid] == mid，说明落在了左区间，left更新到mid+1位置。2.nums[mid] != mid，说明落在了右区间，right更新到mid。有个细节问题：[0,1,2,3]，缺失4，也就是最终落的位置和下标一样，返回一个位置+1。下面来实现：
