【题目描述】
给定n个数列,规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列[a,b]的连续和。数列元素个数最多10万个，询问操作最多10万次。
【输入】
第一行2个整数n,m(n表示输入n个数，m表示m操作）
第二行n个整数
接下来m行，每行三个数k,a,b(k=0,表示求子数列[a,b]的连续和；k=1,表示第a个数加b)。
【输出】
若干行,表示k=0时，对应子数列[a,b]连续和。
【输入样例】
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8【输出样例】
11
30
35一、 题目分析
【核心需求】 维护一个最多包含 105 个元素的序列，支持两种交替进行的操作（总操作数高达 105 次）：
-
单点修改： 将序列中第x个数加上val。
-
区间查询： 求序列中第a个数到第b个数的连续和。
【性能瓶颈】 对于10^5级别的数据，任何单次操作复杂度为O(n)的算法都会在1s的时限内遭遇 超时。我们必须寻找一种能在O(logn)时间内同时兼顾"修改"与"查询"的数据结构。
二、 思考过程
面对这类动态查询问题，初学者通常会经历三次思维迭代：
-
纯暴力数组： 用普通数组存数据。单点修改只需O(1)，但求区间和需要
for循环遍历，时间复杂度为O(n)。10^5 次操作必超时。 -
静态前缀和： 预处理出前缀和数组。此时区间查询降到了极速的 O(1)，但一旦发生"单点修改"，该位置之后所有的前缀和都要重新计算，修改复杂度退化为 O(n)。依然超时。
-
树状数组： 既然绝对的O(1)无法兼顾，我们就选择折中，树状数组通过二进制拆分，将一段连续的区间和"打包"交给特定的节点管理。无论是"向上更新"还是"向下求和"，都能在极其稳定的O(logn)时间内完成。
三、 解题思路
树状数组的核心，全部浓缩在一个只有一行的函数里：lowbit(x)。
lowbit(x)=x&(−x)
利用计算机底层的补码机制（按位取反，末位加一），lowbit(x)能精准提取出 x 二进制下最右边的1所代表的整数。在树状数组的物理模型中，lowbit(x)代表了第x个"片区老大"所管辖的原数组元素的个数。
基于此，我们建立起一套严密的上下级体系：
-
当原数组第x个数发生改变时（单点修改）： 它不仅要更新自己，还要向上级汇报。通过不断执行
x+=lowbit(x)，程序会精准地跳跃到所有包含了该元素的上级节点，并同步更新它们的值。 -
当我们需要前 x 个数的和时（前缀查询）： 我们只需要通过
x-=lowbit(x)，不断向左上方寻找上一个相邻的"片区老大"，把他们手里的管辖总和拼凑起来，就能完美拼出一个完整的前缀区间。
四、 算法设计
-
建树： 抛弃物理上的原数组。在读取初始值时，我们直接将其视作对一个全0树状数组的n 次单点修改（
update），代码优雅。 -
操作流转：
-
若指令为修改操作：直接调用
update(a,b)。 -
若指令为查询操作：利用容斥原理，求区间 [a,b] 的和，等价于求出从 1 至 b 的数列和，减去从1至a−1的数列和，即
sum(b)-sum(a-1)。
-
五、 时空复杂度分析
-
时间复杂度： 建树阶段相当于执行n次单点修改，耗时O(nlogn)。
-
联机操作阶段共m次，每次操作耗时O(logn)。
-
总体时间复杂度：O((n+m)logn)。对于10^5的数据规模，运算量在 2×10^6 级别，安全稳定。
-
-
空间复杂度： 仅需开辟一个长度为n+1的
long long数组，总体空间复杂度为O(n)。
六、 易错点总结
在信奥实战中，能写出树状数组只是及格线，能避开以下三个学生易错的点，才能确保AC：
-
IO 竞速陷阱（易 TLE）： 操作数达到 10 万级别，建议在主函数开头加上
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);解除绑定，并且输出换行必须用\n，严禁用endl强刷缓冲区。 -
数据类型溢出（极易 WA）： 题目中随时可能出现高频次的极大数值累加。凡是涉及到树状数组本体、更新的值（
val）、查询的返回值，请一律使用long long声明，彻底杜绝隐形溢出。 -
下标从0开始的惨剧（极易死循环）： 树状数组的下标绝对不能传入 0。因为
lowbit(0)=0，会导致update和sum函数中的while循环陷入死循环跳不出来。
七、完整代码
cpp
//单点修改 区间查询
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
ll c[100010];//树状数组
//求x在二进制表示下最右边的最低位的1所代表的整数
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
//单点修改 x代表修改原数列第x个数
//到树状数组中则是要修改所有包含原数列第x项的位置
//val代表原数列第x项增加val
void update(int x,ll val){
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
c[i]+=val;
}
}
//求原数列从第一项到第x项的和
ll sum(int x){
ll ret=0;//记录和
while(x>0){
ret+=c[x];//树状数组c[x]一定包含原数列第x项
//重点：减去c[x]所管辖的原数列项数
//意义：精准地往回跳跃到一个不重叠的、相邻的上一级区块
x-=lowbit(x);//要减去c[x]包含的原数列的项数
}
return ret;
}
int main(){
//io加速
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n>>m;
//不需要给原数组赋值，直接把每次赋值变为对树状数组
//所有包含a[i](原数组）的项的更新
for(int i=1;i<=n;i++){
ll x;
cin>>x;
update(i,x);
}
//接下来执行m次操作
while(m--){
int k,a;
ll b;
cin>>k>>a>>b;
if(k==0){//求子数列[a,b]的连续和
//即算出从1至b的数列和减去1至(a-1)的数列和
cout<<sum(b)-sum(a-1)<<"\n";
}
//第a个数加b
else update(a,b);
}
return 0;
}