322. 零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
- 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
- 输出：3
- 解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
- 输入：coins = [2], amount = 3
- 输出：-1
示例 3：
- 输入：coins = [1], amount = 0
- 输出：0
示例 4：
- 输入：coins = [1], amount = 1
- 输出：1
示例 5：
- 输入：coins = [1], amount = 2
- 输出：2
提示：
- 1 <= coins.length <= 12
- 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
- 0 <= amount <= 10^4
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
我们要凑齐 amount，就像是要爬上第 amount 级台阶。你手里有几种不同长度的"砖块"（硬币面额 coins）。
-
状态定义 ：
dp[j]代表到达第j级台阶所需的最少砖块数。 -
初始状态 ：
dp[0] = 0（站在地面不需要砖块）。其他位置先设为一个"不可能的高度"（如amount + 1或无穷大），表示还没找到路径。
当你站在第 j 级台阶时，你怎么来的？
你可能是从 j - coins[0] 跳上来的，也可能是从 j - coins[1] 跳上来的......
为了步数最少，你会看一眼这几个前置位，谁用的步数最少，你就选谁，然后再加 1（加上当前这一枚硬币）。
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)
python
def coinChange(coins, amount):
# 初始化 dp 数组，初始值为 amount + 1（比任何可能的硬币数都大）
dp = [amount + 1] * (amount + 1)
dp[0] = 0
# 遍历每一种面额的硬币
for coin in coins:
# 遍历背包：由于每种硬币无限，所以从 coin 开始正向遍历
for j in range(coin, amount + 1):
# 如果能通过当前硬币减少步数，则更新
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1)
# 如果 dp[amount] 还是初始值，说明凑不出来
return dp[amount] if dp[amount] <= amount else -1279.完全平方数
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
- 输入：n = 12
- 输出：3
- 解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
- 输入：n = 13
- 输出：2
- 解释：13 = 4 + 9
提示：
- 1 <= n <= 10^4
Gemini said
这道题（LeetCode 279. 完全平方数）其实和你刚才问的"零钱兑换"本质上是完全一样的问题。
如果你能理解零钱兑换，这道题只需做个简单的"脑筋急转弯"：
-
金额
amount：变成了这里的整数n。 -
硬币面额
coins：变成了所有小于等于 n 的完全平方数（1,4,9,16,...）。 -
目标：凑齐 n 所需的最少"完全平方数"个数。
1. 核心思路：动态规划 (DP)
我们可以沿用完全背包的思路，构建一个 dp 数组。
-
定义状态 ：
dp[i]表示凑齐整数 i 所需的最少完全平方数个数。 -
状态转移方程 ： 假设我们正在计算
dp[i]，我们可以尝试减去一个完全平方数 j2。 那么有：dp[i]=min(dp[i],dp[i−j2]+1) 其中 j2≤i。 -
边界条件 ：
dp[0] = 0（凑齐 0 需要 0 个数）。 -
初始化 ：由于要求最小值，我们将
dp数组初始化为无穷大（或者n + 1）。
2. 代码实现 (Python)
python
import math
def numSquares(n):
# 1. 初始化 dp 数组，最大值设为 n (全是1的情况)
dp = [i for i in range(n + 1)]
# 2. 预先计算出所有可能的"硬币"：完全平方数
# 比如 n=12，squares = [1, 4, 9]
max_square_index = int(math.sqrt(n)) + 1
squares = [i**2 for i in range(1, max_square_index)]
# 3. 开始动态规划
for square in squares:
for i in range(square, n + 1):
# 这里的逻辑和零钱兑换一模一样
dp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1)
return dp[n]139.单词拆分
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
说明：
拆分时可以重复使用字典中的单词。
你可以假设字典中没有重复的单词。
示例 1：
- 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
- 输出: true
- 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。
示例 2：
- 输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
- 输出: true
- 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
- 注意你可以重复使用字典中的单词。
示例 3：
- 输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
- 输出: false
想象你面前有一条长长的面包（字符串 s），你想知道能不能把它切成几段，且每一段都在菜单（wordDict）里。
-
状态定义 ：
dp[i]表示字符串的前i个字符能否被拆分成功。dp[0] = True：空字符串，默认可以被拆分。
-
递推公式 ： 如果要判断
dp[i]（前i个字符）是否为True，我们需要在0到i之间找一个切割点j：-
如果前
j个字符是可以拆分的（即dp[j] == True）； -
且剩余的部分
s[j:i]（从j到i的子串）在字典wordDict中； -
那么，前
i个字符就是可以拆分的：dp[i] = True。
-
你可以把 dp[i] 看作是一个接力赛：
"如果接力棒能传到第
j个位置（dp[j]是真），并且从第j到第i这一段路有人跑（子串在字典里），那么接力棒就能传到第i个位置。"
公式表示：
dp[i] = dp[j] && check(s[j:i]) （其中 0 \\le j \< i）
python
def wordBreak(s, wordDict):
# 为了查找更快，把 list 转成 set
word_set = set(wordDict)
n = len(s)
# dp[i] 表示 s 的前 i 个字符是否可以拆分
dp = [False] * (n + 1)
dp[0] = True # 初始状态
# 遍历背包（字符串的长度）
for i in range(1, n + 1):
# 遍历物品（分割点 j）
for j in range(i):
# 如果 前 j 个能拼成，且 [j, i] 这段也在字典里
if dp[j] and s[j:i] in word_set:
dp[i] = True
break # 只要找到一种拆分方式，dp[i] 就是 True，跳出当前循环
return dp[n]关于多重背包，你该了解这些！
背包问题总结篇！
https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html