221.最大正方形
动态规划
动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划重点就在于，拆分子问题，记住过往，减少重复计算。
动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。
动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。
动态规划的解题套路
什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？
如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。
比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。
动态规划的解题思路
动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，具体的4个步骤如下：
- 穷举分析
- 确定边界
- 找出规律，确定最优子结构
- 写出状态转移方程
思路
①穷举分析
对于任意给定的矩阵，都是可以穷举出来的，此处不再赘述；
②确定边界
当matrix中元素为0的时候，不存在满足题中条件的情况，返回0；
③找出规律，确定最优子结构
什么是最优子结构：
一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质。
min(上, 左, 左上) + 1
④写出状态转移方程
代码
python
python
class Solution(object):
def maximalSquare(self, matrix):
"""
:type matrix: List[List[str]]
:rtype: int
"""
m, n = len(matrix),len(matrix[0])
f = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
for i, row in enumerate(matrix):
for j, ch in enumerate(row):
if ch == '1':
f[i+1][j+1] = min(f[i][j], f[i][j+1], f[i+1][j]) + 1
'''
map(max,f): 对 f 里的每一行，分别求最大值（得到每行的最大边长）
max(map(max,f)): 从 "每行的最大边长" 里，找整个 f 的全局最大边长
max(map(max,f))**2: 边长平方
'''
return max(map(max,f)) ** 2C++
cpp
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
int m = matrix.size();
int n = matrix[0].size();
vector f(m+1, vector<int>(n+1));
int ans = 0;
for(int i = 0; i< m;i++)
{
for(int j = 0;j<n;j++)
{
if(matrix[i][j] == '1')
{
f[i+1][j+1] = min({f[i][j], f[i+1][j], f[i][j+1]}) + 1;
ans = max(ans, f[i+1][j+1]);
}
}
}
return ans * ans;
}
};