二分查找的细则（binary search）

二分查找的使用分类： 1）查找值，返回就行，没有其他要求 2）查找最左、最右边界的值（比如有重复的要求返回最左、最右下标）

下面从多个方面来进行分析：

1）终结条件：`left <= right` or `left < right`

首先我们要明白这两个的明确区别在哪里：可以这么来说，二分查找的第一类使用 left <= right，第二类使用 left < right。Why?

接下来提供具体代码：

Normal (查找值):

Cpp

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vector nums = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10 };
int target = 7;
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while(left <= right) {
    // 标准向下取整写法，防止溢出且清晰
    int mid = left + (right - left) / 2; 
    if(nums[mid] > target) 
        right = mid - 1;
    else if (nums[mid] < target) 
        left = mid + 1; // 【修正】原代码此处为 left = mid - 1，逻辑错误，应向右收缩
    else 
        return mid;
}

target 是我们要找的目标值。

Specific (查找边界): 但如果我们要查找到 target 对应 vector<int> nums 的最左下标或者最右下标，我们如果使用上面的模板就会出错（因为找不到确切边界），所以我们要使用第二个模板；

Cpp

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vector nums = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10 };
int target = 10;
// 要求找到最右下标
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while(left < right) {
    // 【修正】这里必须向上取整，配合 left = mid 防止死循环
    int mid = left + (right - left + 1) / 2; 
    if(nums[mid] <= target) 
        left = mid; // 【修正】原代码 left = mid + 1 是找 upper_bound，此处改为找右边界逻辑
    else 
        right = mid - 1;
}
return left; // 此时 left == right，即为最右下标

2）取整方式

取整方式分为向上取整、向下取整。这个在查找的第一种情况（left <= right）是随意的，因为每次边界都会移动 mid + 1 或 mid - 1，不会卡住。但对应第二种情况（left < right）是有要求的，为什么？

下面以取最左下标为例：如果我们想取到一个 target 最小下标，这就要求我们如果取到 target 时不能直接跳过该位置。此时我们可以让 right = mid，也可以让 left = mid。

关键逻辑 ：
- 如果是 left = mid（左边界不移动），此时必须使用向上取整 （mid = left + (right - left + 1) / 2）。因为如果是向下取整，当 left 和 right 相邻时，mid 会等于 left，导致 left 不变，死循环。
- 如果是 right = mid（右边界不移动），此时必须使用向下取整 （mid = left + (right - left) / 2）。因为如果是向上取整，当 left 和 right 相邻时，mid 会等于 right，导致 right 不变，死循环。

可以看到的是，对于取到了一个值和 target 相同的情况，是通过改变另一个边界的大小来逼近的。同理对于取最右下标，我们同样使用 left = mid（配合向上取整）或 right = mid（配合向下取整）来应对。

3）返回值

就像我们在上个例子举得一样，你的返回值同样是会决定我们返回的正确性的。在 left < right 的循环中，循环结束时 left == right。

如果是找左边界，循环结束后 left 指向第一个 >= target 的位置。
如果是找右边界，循环结束后 left 指向最后一个 <= target 的位置。所以直接 return left 即可得到正确下标。

总结

我们在 left, right 是闭区间还是开区间，我个人偏爱闭区间 [left, right]，因为对于开区间的话 right 是非法访问索引，这样的话就有很多地方都限制了我们。

对于一般情况（left <= right），无论是向上取整还是向下取整都是 OK 的。但对于特殊情况（left < right 找边界）：

找最左下标 ：使用 left < right + 向下取整 + right = mid。
找最右下标 ：使用 left < right + 向上取整 + left = mid。这样应对的话一般是不会出错的。

二分查找的细则（binary search）

1）终结条件：left <= right or left < right

2）取整方式

3）返回值

总结

1）终结条件：`left <= right` or `left < right`