搜索插入位置（第一个≥target的位置）

LeetCode 35 题「搜索插入位置」是二分查找的经典入门变种题，其核心并非简单的 "找目标值"，而是求有序数组中第一个大于等于 target 的位置（也称为二分查找的 "下界"）。本文从题目分析、核心原理、代码实现到拓展延伸，帮你彻底掌握这一高频考点。

一、题目回顾

题目描述

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。要求：时间复杂度必须为 O(logn)。

二、核心原理：二分查找 "下界" 的逻辑

1. 为什么用二分查找？

题目要求时间复杂度 O(logn)，而有序数组的二分查找恰好满足这一要求（顺序查找为 O(n)，不符合要求）。

2. 二分 "下界" 的核心逻辑

我们维护一个闭区间 [left, right]，通过不断缩小区间找到目标位置：

• 初始化：left = 0，right = nums.size() - 1（覆盖整个数组）；
• 循环条件：left <= right（闭区间有效时继续查找）；
• 缩小区间规则：
  • 若 nums[mid] == target：直接返回 mid（找到目标值，其位置就是下界）；
  • 若 target > nums[mid]：说明下界在右半区间，更新 left = mid + 1；
  • 若 target < nums[mid]：说明下界在左半区间，更新 right = mid - 1；
• 循环终止：当 left > right 时，left 恰好是第一个≥target 的位置（下界）。

3. 关键：为什么循环结束返回 left？

循环终止时 left > right，此时：

• right 是最后一个小于 target 的位置；
• left 是第一个大于等于 target 的位置；这是二分查找求下界的 "固定结论"，无需额外计算，直接返回 left 即可

三、完整代码实现

迭代版（工程首选）

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        
        // 闭区间 [left, right] 二分查找
        while (left <= right) {
            // 计算mid：避免 (left+right)/2 整数溢出
            int mid = left + (right - left) / 2;
            
            if (nums[mid] == target) {
                return mid; // 找到目标值，直接返回
            } else if (target > nums[mid]) {
                left = mid + 1; // 下界在右半区间
            } else {
                right = mid - 1; // 下界在左半区间
            }
        }
        // 循环结束，left 是第一个≥target的位置
        return left;
    }
};

递归版（理解逻辑用）

递归版更直观体现 "分治思想"，核心逻辑与迭代版一致：

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        return binarySearch(nums, target, 0, nums.size() - 1);
    }

private:
    int binarySearch(vector<int>& nums, int target, int left, int right) {
        // 递归终止条件：返回下界 left
        if (left > right) return left;
        
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (target > nums[mid]) {
            // 递归查找右半区间
            return binarySearch(nums, target, mid + 1, right);
        } else {
            // 递归查找左半区间
            return binarySearch(nums, target, left, mid - 1);
        }
    }
};