前缀和与差分（蓝桥杯高频考点）

前缀和与差分

一、前缀和（Prefix Sum）

引入：对于一个有n个元素的数组arr，进行q次询问 $L,R$ 的区间和。如果q较小，我们可以直接for循环一个一个元素加起来，但如果q很大，R-L也很大，那么时间复杂度就会很大。因此我们可以用前缀和进行预处理，优化时间（我以下代码里的数组均是从1开始存数据而不是0）

1.概念

用于快速计算数组中任意区间[l,r]的元素和

定义：设原数组为a $1..n$ ，前缀和数组pre $0..n$ 满足：

pre[i]=a[1]+a[2]+...a[i];类似于高中数学里的前n项和

其中pre[0]=0(哨兵值，便于计算)

区间和公式：

sum(l, r) = pre[r] - pre[l - 1];

2.用途

多次查询区间和（如求第l到第r项的和）
时间复杂度：预处理O(n)，单次查询O(1)

3.C代码模板

cpp 复制代码

 #include <stdio.h>
 #define MAXN 100010
 
 int a[MAXN], pre[MAXN];
 
 int main() {
     int n, m;
     scanf("%d", &n);
     pre[0]=0;
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
         scanf("%d", &a[i]);
         pre[i] = pre[i - 1] + a[i];  // 构建前缀和
     }
 
     scanf("%d", &m);
     while (m--) {
         int l, r;
         scanf("%d %d", &l, &r);
         printf("%d\n", pre[r] - pre[l - 1]);  // 区间和
     }
     return 0;
 }

二、差分

引入：对于一个有n个元素的数组，对它进行m次操作，每个操作给定一个L和，然后对数组区间 $L,R$ 下标范围内的每个元素加上一个数x，最后输出m次操作后的数组arr（n个数m次操作1次询问）每次对区间数组进行修改的操作都用了O(n)的复杂度，一共是O(m*n),为了优化时间，可以用差分

1.概念

差分是前缀和的逆运算，用于高效实现区间加法操作。

定义：设原数组为a $1...n$ ，差分数组d $1...n+1$ 满足：

d $1$ =a $1$ ,d $i$ =a $i$ -a $i-1$ (i≥2)
性质：原数组的差分数组d可通过其前缀和得到原数组

便于更好理解我举个例子

arr 1 3 7 5 2 原数组

d 1 2 4 -2 -3 原数组的差分数组d $i$ =arr $i$ -arr $i-1$ d $1$ =arr $1$ ;

Pred 1 3 7 5 2 差分数组d的前缀和pred $i$ =pred $i-1$ +d $i$

还有另一种方法，不计算差分，只计算差分增量。无论原始数组值是否为0，我们都将差分数组初始化为0，d仅表示差分增量，计算d的前缀和后再加上原始数组可得到最终结果

例如：

初始arr 1 3 7 5 2 对第1~3元素+2变为 3 5 9 5 2

初始d 0 0 0 0 0

差分增量d 2 0 0 -2 0

差分增量d的前缀和 2 2 2 0 0

其前缀和加上初始arr 3 5 9 5 2 与操作后的数组arr一致

核心操作：对区间 $l,r$ 所有元素加相当于：
复制代码
```
 d[l] += x;
 d[r + 1] -= x;   // 注意 r+1 可能越界，需判断
```
最终通过差分数组的前缀和还原操作后的数组：a $i$ =d $1$ +d $2$ +...+d $i$ =pred $i$

为什么区间 $l,r$ 那么多个元素，却只需要对d $l$ 和d $r+1$ 操作就能得到结果？

答：d数组的前缀和是不断叠加的，d $1$ ++，那么pred $1$ 及其后面的数都会+1

2.用途

多次对区间进行加/减操作，最后输出整个数组
时间复杂度：单次修改 O(1)，还原 O(n)

3.C代码模板

法一

cpp 复制代码

 #include <stdio.h>
 #define MAXN 100010
 
 int d[MAXN];  // 差分数组，初始为0
 
 int main() {
     int n, m;
     scanf("%d %d", &n, &m);
 
     while (m--) {
         int l, r, x;
         scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
         d[l] += x;
         if (r + 1 <= n) d[r + 1] -= x;  // 防止越界
     }
 
     // 通过前缀和还原最终数组
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
         d[i] += d[i - 1];  // 此时 d[i] 即为 a[i]
         printf("%d ", d[i]);
     }
     return 0;
 }

法二

cpp 复制代码

 #include <stdio.h>
 #define MAXN 100010
 
int main(){
     int n,m;
     int arr[MAXN];
     scanf("%d %d",&n,&m);
     int d[MAXN]={0};
     for(int i=1;i<=n;i++){
         scanf("%d",&arr[i]);
     }
     
     while(m--){
         int l,r,x;
         scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
         d[l]+=x;
         if(r+1<=n){
             d[r+1]-=x;   //此时d[i]为差分增量，而不是差分
         }
     }
     
     for(int i=1;i<=n;i++){
         d[i]+=d[i-1];    
         printf("%d ",d[i]+arr[i]);
     }
     return 0
 }

学习完以上内容后可以自行去搜索近五年蓝桥杯相关真题进行练习