Manacher算法

Queenie_Charlie2026-03-21 18:20

算法描述与证明

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for (int i = 1; i <= m; i++) { // 遍历预处理后的字符串t
    p[i] = 1;                 // 初始化最小回文半径为1（单个字符）
    if (maxid > i)            // 如果i在当前最右回文边界内
        p[i] = min(p[2 * id - i], maxid - i); // 利用对称性快速确定下限
    
    // 暴力扩展回文半径
    while (t[i - p[i]] == t[i + p[i]]) 
        p[i]++;               // 若两侧字符相等，半径+1
    
    // 更新最右回文边界及中心
    if (i + p[i] > maxid) {
        id = i;
        maxid = i + p[i];
    }
}

部分代码分析

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while(t[i-p[i]] == t[i+p[i]])
    p[i]++;

这段代码是看在当前以 i 为中心（如果超出了）最大范围外的左边和右边是否相等，如果相等说明可以进一步扩展，将当前回文半径加一。

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if(maxid > i)
    p[i] = min(p[2 * id - i], maxid - i);

这段代码是，如果当前点在当前最大回文子串的范围内，找当前点的以当前最大回文子串中心点的对称点（以当前最大回文子串中心点折过去所对应的点）和当前点到当前最大回文子串右边界的距离的最小值。因为串对称过来以后超过当前最大回文子串右边界的话，超出的部分就不能对称过来了（不能保证左侧超出的部分和右侧超出的部分相同）。所以要取两者最小值。

完整流程

步骤	操作	目的
1	预处理字符串（插入`#`和哨兵）	统一奇偶回文为奇数长度
2	初始化`p[i]=1`	每个字符至少自身是回文
3	利用对称性快速确定下限`p[i] = min(p[j], maxid-i)`	跳过重复比较，优化效率
4	暴力扩展`while(...) p[i]++`	验证并扩大回文半径
5	更新`maxid`和`id`	维护当前最右回文边界信息