【入门级-数据结构-3、特殊树：完全二叉树的数组表示法】

完全二叉树：是除最后一层外，其余层节点全满，且最后一层节点都靠左排列的二叉树，它的结构特性让它可以用连续数组高效存储（无需指针 / 引用），这也是堆（优先队列）的底层实现原理。

一、核心规则

我们约定：数组下标从 0 开始（最常用），对完全二叉树任意一个节点 i：

父节点下标：(i - 1) /2 （整数除法）

左孩子下标：2 * i + 1

右孩子下标：2 * i + 2

二、示例演示说明

完全二叉树结构
0 (根节点)
/ \
1 2
/ \ /
3 4 5
对应数组 $0, 1, 2, 3, 4, 5$
公式验证
节点 1（下标 1）：父 =(1-1)/2=0，左 = 3，右 = 4
节点 2（下标 2）：父 =(2-1)/2=0，左 = 5，右 = 6（正常如果有右孩子的话是6，本示例无右孩子）
节点 5（下标 5）：父 =(5-1)/2=2

三、C语言实现方法

c 复制代码

#include <stdio.h>
// 求父节点下标
int getParent(int i)
{
    if(i == 0) 
        return -1;  // 根节点无父节点
    return (i - 1) / 2;
}

// 求左孩子下标
int getLeft(int i)
{
    return 2 * i + 1;
}

// 求右孩子下标
int getRight(int i)
{
    return 2 * i + 2;
}

int main()
{
    // 完全二叉树数组：0 1 2 3 4 5
    int tree[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5};
    int n = sizeof(tree) / sizeof(tree[0]);

    printf("完全二叉树数组元素：");
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        printf("%d ", tree[i]);
    }
    printf("\n\n");

    // 遍历每个节点，打印父子关系
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        printf("下标%d  节点值 = %d\n", i, tree[i]);
        
        int p = getParent(i);
        if(p == -1)
            printf("  -> 根节点，无父节点\n");
        else
            printf("  -> 父节点下标：%d，值：%d\n", p, tree[p]);

        int L = getLeft(i);
        if(L < n)
            printf("  -> 左孩子下标：%d，值：%d\n", L, tree[L]);
        else
            printf("  -> 无左孩子\n");

        int R = getRight(i);
        if(R < n)
            printf("  -> 右孩子下标：%d，值：%d\n", R, tree[R]);
        else
            printf("  -> 无右孩子\n");

        printf("------------------------\n");
    }

    return 0;
}

运行输出：

下标0 节点值 = 0
-> 根节点，无父节点
-> 左孩子下标：1，值：1
-> 右孩子下标：2，值：2

下标3 节点值 = 3

-> 父节点下标：1，值：1
-> 无左孩子
-> 无右孩子

下标5 节点值 = 5

-> 父节点下标：2，值：2

-> 无左孩子

-> 无右孩子

四、数组表示法的特点

优点

内存高效：连续数组存储，无额外指针开销

访问极快：通过公式直接计算父子节点，O (1) 时间复杂度

结构天然：完全二叉树不会产生数组空洞，空间利用率 100%

缺点

仅适用于完全二叉树：普通二叉树用数组会产生大量空位，浪费空间