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已择之路，纵是荆棘遍野，亦作花海遨游
目录
11.按摩师
题目链接：
题目描述：
题目示例：
解法(动态规划)：
算法思路：
1.状态表示：
对于简单的线性dp，我们可以用「经验 +题目要求」来定义状态表示：
i.以某个位置为结尾，巴拉巴拉;
ii.以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这里我们选择比较常用的方式，以某个位置为结尾，结合题目要求，定义一个状态表示：
dp[i]表示:选择到i位置时，此时的最长预约时长。
但是我们这个题在i位置的时候，会面临「选择」或者「不选择」两种抉择，所依赖的状态需要细分：
f[i]表示：选择到 i位置时， nums[i]必选，此时的最长预约时长;
g[i]表示：选择到i 位置时，nums[i]不选，此时的最长预约时长。
2.状态转移方程:
因为状态表示定义了两个，因此我们的状态转移方程也要分析两个：
对于f[i]：如果nums[i]必选，那么我们仅需知道i-1位置在不选的情况下的最长预约时长，然后加上nums[i]即可，因此f[i]=g[i-1] + nums[i]。
对于g[i]：如果nums[i]不选，那么i-1位置上选或者不选都可以。因此，我们需要知道 i -1 位置上选或者不选两种情况下的最长时长，因此 g[i]= max(f[ i - 1]，g[ i - 1]) 。
3.初始化：
这道题的初始化比较简单，因此无需加辅助节点，仅需初始化f[0]=nums[0]，g[0]=0即可。
4.填表顺序：
根据「状态转移方程」得「从左往右，两个表一起填」。
5.返回值：
根据「状态表示」，应该返回 max(f[n - 1], g[n - 1]) 。
C++算法代码：
cpp
class Solution {
public:
int massage(vector<int>& nums)
{
if(nums.size() == 0)
{
return 0;
}
//vector<int> dp(nums.size());
vector<int> f(nums.size());
vector<int> g(nums.size());
//dp[i]表示第i个位置所预约的最长时间,通过f和g来表示，可以不创建
//f[i]表示第i个位置选择预约时的预约最长时间；
//g[i]表示第i个位置不选择预约时的预约最长时间
f[0] = nums[0]; //g[0] = 0，创建数组时g[0]就是0
for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i]= max(f[i - 1], g[i - 1]);
//dp[i] = max(f[i], g[i]);
//由于f[i]不知道，所以只能由前一个位置得到：
//因为f[i]表示第i个位置选择预约，则i-1位置一定不选择预约->g[i-1]
//所以f[i] = g[i - 1] + nums[i]
//由于g[i]不知道，所以只能由前一个位置得到：
//因为g[i]表示第i个位置不选择预约，则i-1位置又会有两种情况：
//如果第i-1位置选择预约->f[i-1],则g[i]=f[i-1]
//如果第i-1位置不选择预约->g[i-1],则g[i]=g[i-1]
//所以我们要得到预约的最长时间->g[i]=max(f[i - 1], g[i - 1])
}
//return dp[nums.size() - 1];
return max(f[nums.size() - 1], g[nums.size() - 1]);
}
};算法总结及流程解析：
前置任务：打家劫舍
题目链接：
题目描述：
题目示例：
C++算法代码：
cpp
class Solution {
public:
int rob(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> f(n);//f[i]表示第i个位置选择偷时，当前偷到的最大金额
vector<int> g(n);//g[i]表示第i个位置选择不偷，当前偷到的最大金额
f[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i];
g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
}
return max(f[n - 1], g[n - 1]);
}
};12.打家劫舍II
题目链接：
题目描述：
题目示例：
解法(动态规划)：
算法思路：
这一个问题是「打家劫舍I」问题的变形。
上一个问题是一个「单排」的模式，这一个问题是一个「环形」的模式，也就是首尾是相连的。但是我们可以将「环形」问题转化为「两个单排」问题：
a.偷第一个房屋时的最大金额x ，此时不能偷最后一个房子，因此就是偷[0，n -2]区间的房子;
b.不偷第一个房屋时的最大金额 y ，此时可以偷最后一个房子，因此就是偷[1，n-1]区
间的房子;
两种情况下的「最大值」，就是最终的结果。
因此，问题就转化成求「两次单排结果的最大值」。
C++算法代码：
cpp
class Solution {
public:
//环形打家劫舍
int rob(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
return max(nums[0] + Rob(nums, 2, n - 2), Rob(nums, 1, n - 1));
//当选择偷第0个位置，则第1个位置和n-1位置都不能偷
//则(2, n - 2)区间满足线性打家劫舍的逻辑
//当不选择偷第0个位置，则(1, n - 1)区间满足线性打家劫舍的逻辑
}
//线性打家劫舍
int Rob(vector<int>& nums, int left, int right)
{
if(left > right)
{
return 0;
}
int n = right - left + 1;
vector<int> f(n);//f[i]表示第i个位置选择偷时，当前偷到的最大金额
vector<int> g(n);//g[i]表示第i个位置选择不偷，当前偷到的最大金额
f[0] = nums[left]; //一定要注意nums下标的映射关系
for(int i = 1; i < n; i++)
{
f[i] = g[i - 1] + nums[i + left];//这里也是要注意nums的对应位置
g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
}
return max(f[n - 1], g[n - 1]);
}
};算法总结及流程解析：
结束语
到此，11.按摩师，12.打家劫舍II 这两道算法题就讲解完了。**按摩师问题：通过定义f[i]（选择i位置）和g[i]（不选i位置）两个状态表示，建立状态转移方程并初始化，最终返回最大值；打家劫舍II：则将环形结构转化为两个线性问题：偷第一个房屋（不偷最后一个）和不偷第一个房屋（可偷最后一个），分别求解后取最大值。**希望大家能有所收获！