二分查找(寻找旋转排序数组中的最小值)(7)

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一.题目

二.思路讲解

第一步：找二分性

题目给出的数组原本是升序排列 ，经过若干次旋转后，变成了由两段升序子数组拼接而成的形式：前一段的所有元素都大于后一段的所有元素（除非旋转次数为数组元素个数的倍数，即整个数组仍然是升序）。这种结构天然具备二分性 ：我们可以通过比较中间元素与数组最右边的元素，来判断中间元素位于前一段还是后一段，从而确定最小值所在的区间。即使数组完全升序（即没有旋转），也可以看作后一段为空，此时最小值就是第一个元素。因此，无论是否旋转，数组都满足"可以通过比较缩小范围"的条件，从而可以使用二分查找。

第二步：采用左端点还是右端点

我们要找的是数组中的最小值 。在旋转数组中，最小值就是后一段的第一个元素，也就是第一个小于等于最右边元素的元素（因为后一段所有元素都小于前一段，且后一段本身是升序）。因此，我们需要找到第一个满足"小于等于最右边元素"的位置 ，这正是左端点二分查找 的典型应用。采用左端点模板，中点取向下取整 ，缩进规则为：当中间值大于最右边元素时，说明中间值在前一段，最小值在右边，left = mid + 1；否则（中间值小于等于最右边元素），说明中间值在后一段或就是最小值，right = mid。循环结束时，left 即为最小值的索引。

第三步：为什么选择最右边的元素作为基准值

选择数组最右边的元素作为基准值，是因为它位于数组末尾，且具有明确的特性：在旋转数组中，最右边的元素一定是后一段的最后一个元素（如果数组没有旋转，它就是整个数组的最大值）。通过比较中间值与最右边元素，可以准确判断中间值属于哪一段：

如果 nums[mid] > nums[right]（其中 right 指向最右边），说明中间值在前一段（因为前一段所有元素都大于后一段），那么最小值一定在 mid 的右侧。
如果 nums[mid] <= nums[right]，说明中间值在后一段（包括可能的最小值），那么最小值在 mid 左侧或就是 mid 本身。这种比较方式简单有效，且能统一处理旋转和未旋转的情况。如果选择最左边的元素作为基准，则需要考虑更多边界情况，因此最右边的元素是更优的选择。

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) 
    {
        int left = 0;
        int n = nums.size();
        int right = n - 1;
        int x = nums[right];
        while(left <right)
        {
            int mid = left + (right - left) /2;
            if(nums[mid] > x)
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

四.代码讲解

一、循环条件与中点计算

采用 while (left < right) 作为循环条件，而不是 left <= right。这是因为当左右指针相遇时，区间内只剩一个元素，此时无需继续二分 ，可以直接在循环外返回该元素。这种写法可以避免死循环，并符合左端点模板的常规写法。

中点计算采用向下取整 的公式，即 mid = left + (right - left) / 2。当区间长度为偶数时，中点会偏向左边 ，这确保了当 left 和 right 相邻时，中点指向 left，从而保证区间能够正确收缩，不会出现 right 原地不动的情况。向下取整 是左端点查找的精髓，也是避免死循环的关键。

二、区间缩进规则

在循环中，使用 x = nums[right] 作为基准值（即数组最右边的元素）。根据 nums[mid] 与 x 的比较结果，按照以下规则更新指针：

当 nums[mid] > x 时 ：说明 mid 位于前一段（旋转后较大的那一段），因为前一段的所有元素都大于后一段，而最小值在后一段。因此最小值一定在 mid 的右侧，可以安全地将左指针移动到 mid + 1，即舍弃左半区间。
当 nums[mid] <= x 时 ：说明 mid 位于后一段（包括可能的最小值），因为后一段的所有元素都小于等于最右边元素（且后一段本身升序）。此时最小值可能在 mid 左侧，也可能就是 mid 本身。因此将右指针移动到 mid，保留 mid 在搜索区间内 ，继续向左寻找。注意这里不能用 right = mid - 1 ，因为 mid 有可能是最小值，必须保留。

三、循环结束后的处理

循环结束时，left 与 right 相等，此时指向的位置就是数组中最小值的索引 。直接返回 nums[left] 即可，无需额外判断。无论数组是否经过旋转，这个结果都是正确的。

四、细节注意

基准值 x 取 nums[right] 即数组最右边的元素，它在循环中保持不变（因为 right 会更新，但 x 是初始最右边元素的值）。
循环中比较的是 nums[mid] 与固定的 x，因此需要确保 x 的值在循环过程中始终代表原始最右边元素，这是合理的。
由于数组元素互不相同，不存在相等干扰，比较逻辑清晰。