在上一讲中，我们探索了点积与对偶性的深刻联系。现在，让我们把目光转向另一个重要的向量运算------叉积（也叫叉乘）。与点积输出一个标量不同，叉积输出一个向量。它有着丰富的几何意义，并且同样可以用线性变换的视角来理解，从而揭示其计算公式的由来。
9.1 叉积的标准介绍
1）几何定义
对于三维空间中的两个向量 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w ，它们的叉积 v ⃗ × w ⃗ \vec{v} \times \vec{w} v ×w 是一个新向量，满足：
- 大小 ：等于 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 张成的平行四边形的面积，即 ∥ v ⃗ × w ⃗ ∥ = ∥ v ⃗ ∥ ∥ w ⃗ ∥ sin θ \|\vec{v} \times \vec{w}\| = \|\vec{v}\| \|\vec{w}\| \sin\theta ∥v ×w ∥=∥v ∥∥w ∥sinθ，其中 θ \theta θ 是两向量的夹角。
- 方向 ：垂直于 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 所在的平面，并且遵循右手定则 ：右手食指指向 v ⃗ \vec{v} v ，中指指向 w ⃗ \vec{w} w ，拇指指向即为叉积方向。
2）坐标计算公式
如果 v ⃗ = [ v 1 v 2 v 3 ] \vec{v} = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} v = v1v2v3 ， w ⃗ = [ w 1 w 2 w 3 ] \vec{w} = \begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix} w = w1w2w3 ，则叉积可以通过以下行列式形式计算：
v ⃗ × w ⃗ = det ( [ i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 ] ) = [ v 2 w 3 − v 3 w 2 v 3 w 1 − v 1 w 3 v 1 w 2 − v 2 w 1 ] \vec{v} \times \vec{w} = \det\left(\begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} v_2w_3 - v_3w_2 \\ v_3w_1 - v_1w_3 \\ v_1w_2 - v_2w_1 \end{bmatrix} v ×w =det i^v1w1j^v2w2k^v3w3 = v2w3−v3w2v3w1−v1w3v1w2−v2w1
这里 i ^ , j ^ , k ^ \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} i^,j^,k^ 是标准基向量。这个公式看起来很神奇，但背后有着深刻的线性变换视角。
3）基本性质
- 反交换律： v ⃗ × w ⃗ = − w ⃗ × v ⃗ \vec{v} \times \vec{w} = -\vec{w} \times \vec{v} v ×w =−w ×v
- 如果 v ⃗ \vec{v} v 与 w ⃗ \vec{w} w 平行，叉积为零向量。
- 分配律： v ⃗ × ( w ⃗ + u ⃗ ) = v ⃗ × w ⃗ + v ⃗ × u ⃗ \vec{v} \times (\vec{w} + \vec{u}) = \vec{v} \times \vec{w} + \vec{v} \times \vec{u} v ×(w +u )=v ×w +v ×u （线性性）
9.2 以线性变换的眼观看叉积
正如点积可以看作是从高维到一维的线性变换，叉积也可以用类似的对偶性 思想来理解。不过这次，我们将从三维空间映射到一维的线性变换，与两个向量 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 联系起来。
1）平行六面体的有向体积
考虑任意一个三维向量 x ⃗ = [ x y z ] \vec{x} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} x = xyz 。由 v ⃗ , w ⃗ , x ⃗ \vec{v}, \vec{w}, \vec{x} v ,w ,x 三个向量张成的平行六面体的有向体积 ，等于以它们为列的 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵的行列式：
Volume = det ( [ v 1 w 1 x 1 v 2 w 2 x 2 v 3 w 3 x 3 ] ) = x ⃗ ⋅ ( v ⃗ × w ⃗ ) \text{Volume} = \det\left(\begin{bmatrix} v_1 & w_1 & x_1 \\ v_2 & w_2 & x_2 \\ v_3 & w_3 & x_3 \end{bmatrix}\right) = \vec{x} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) Volume=det v1v2v3w1w2w3x1x2x3 =x ⋅(v ×w )
注意，这个体积关于 x ⃗ \vec{x} x 是线性的 。也就是说，固定 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w ，映射
L : R 3 → R , L ( x ⃗ ) = det ( [ v ⃗ w ⃗ x ⃗ ] ) L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \quad L(\vec{x}) = \det(\begin{bmatrix} \vec{v} & \vec{w} & \vec{x} \end{bmatrix}) L:R3→R,L(x )=det([v w x ])
是一个线性变换（因为行列式对每一列都是线性的）。
2）对偶向量
根据上一讲的对偶性，任何一个从三维空间到一维的线性变换，都对应着某个向量 p ⃗ \vec{p} p ，使得 L ( x ⃗ ) = p ⃗ ⋅ x ⃗ L(\vec{x}) = \vec{p} \cdot \vec{x} L(x )=p ⋅x 。这个 p ⃗ \vec{p} p 就是该变换的对偶向量。
那么，对于由 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 决定的这个线性变换 L L L，它对偶向量 p ⃗ \vec{p} p 必须满足：
p ⃗ ⋅ x ⃗ = det ( [ v ⃗ w ⃗ x ⃗ ] ) 对所有 x ⃗ 成立 \vec{p} \cdot \vec{x} = \det(\begin{bmatrix} \vec{v} & \vec{w} & \vec{x} \end{bmatrix}) \quad \text{对所有 } \vec{x} \text{ 成立} p ⋅x =det([v w x ])对所有 x 成立
这个 p ⃗ \vec{p} p 是什么？它就是 v ⃗ × w ⃗ \vec{v} \times \vec{w} v ×w ！
3）为什么 p ⃗ \vec{p} p 就是叉积？
我们来验证一下：取 x ⃗ = i ^ \vec{x} = \hat{i} x =i^，则 p ⃗ ⋅ i ^ = p 1 \vec{p} \cdot \hat{i} = p_1 p ⋅i^=p1 应等于 det ( [ v ⃗ w ⃗ i ^ ] ) \det(\begin{bmatrix}\vec{v} & \vec{w} & \hat{i}\end{bmatrix}) det([v w i^])。这个行列式恰好是矩阵第一列为 v ⃗ \vec{v} v ，第二列为 w ⃗ \vec{w} w ，第三列为 [ 1 , 0 , 0 ] T [1,0,0]^T [1,0,0]T 的行列式，计算出来就是 v 2 w 3 − v 3 w 2 v_2w_3 - v_3w_2 v2w3−v3w2，这正是叉积的 x x x 分量。类似地，取 x ⃗ = j ^ \vec{x}=\hat{j} x =j^ 得到 p 2 = v 3 w 1 − v 1 w 3 p_2 = v_3w_1 - v_1w_3 p2=v3w1−v1w3，取 x ⃗ = k ^ \vec{x}=\hat{k} x =k^ 得到 p 3 = v 1 w 2 − v 2 w 1 p_3 = v_1w_2 - v_2w_1 p3=v1w2−v2w1。所以：
p ⃗ = [ v 2 w 3 − v 3 w 2 v 3 w 1 − v 1 w 3 v 1 w 2 − v 2 w 1 ] = v ⃗ × w ⃗ \vec{p} = \begin{bmatrix} v_2w_3 - v_3w_2 \\ v_3w_1 - v_1w_3 \\ v_1w_2 - v_2w_1 \end{bmatrix} = \vec{v} \times \vec{w} p = v2w3−v3w2v3w1−v1w3v1w2−v2w1 =v ×w
因此，叉积 v ⃗ × w ⃗ \vec{v} \times \vec{w} v ×w 就是那个对偶向量，它使得与任意向量 x ⃗ \vec{x} x 的点积等于 v ⃗ , w ⃗ , x ⃗ \vec{v}, \vec{w}, \vec{x} v ,w ,x 张成的平行六面体的有向体积。
4）几何直观
这个观点将叉积的几何意义和计算统一起来：
- 叉积的大小：当 x ⃗ \vec{x} x 是垂直于 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 的单位向量时，点积 p ⃗ ⋅ x ⃗ \vec{p} \cdot \vec{x} p ⋅x 就是 p ⃗ \vec{p} p 在该方向的投影，也就是 ∥ p ⃗ ∥ \|\vec{p}\| ∥p ∥。而此时的体积等于底面积（ v ⃗ , w ⃗ \vec{v},\vec{w} v ,w 平行四边形面积）乘以高（1），所以 ∥ p ⃗ ∥ \|\vec{p}\| ∥p ∥ 正好等于平行四边形面积。
- 叉积的方向：为了使得 p ⃗ ⋅ x ⃗ \vec{p} \cdot \vec{x} p ⋅x 给出有向体积， p ⃗ \vec{p} p 必须垂直于 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w （否则当 x ⃗ \vec{x} x 在平面内时体积为零，但点积不为零），并且指向由右手定则决定的正侧。
5）总结
从线性变换的视角看，叉积不是凭空定义的一个向量，而是由 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 通过"测量平行六面体体积"这个线性变换自然导出的对偶向量。这个视角解释了为什么叉积的坐标公式恰好是行列式的形式，也揭示了它与体积的深刻联系。
9.3 更进一步
这种对偶性的观点在数学中非常强大。它告诉我们，叉积的本质是一个线性函数 的表示，这个函数输入一个向量 x ⃗ \vec{x} x ，输出由 v ⃗ , w ⃗ , x ⃗ \vec{v}, \vec{w}, \vec{x} v ,w ,x 张成的有向体积。而叉积向量就是该函数的"代言人"。正是这个观点，让叉积从死记硬背的公式中解放出来，成为线性代数美丽结构的一部分。
在以后的学习中，你还会看到类似的对偶思想出现在微分形式、张量分析等领域。而现在，你已经掌握了叉积的几何灵魂。