【递归算法】子集

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文章摘要：

题目要求返回不含重复数字数组的所有子集，包括空集。采用递归法解决，有两种思路：一是基于每个数字的"选与不选"构建决策树，递归遍历所有可能；二是按子集元素个数分类，通过循环和回溯生成所有组合。两种方法均使用全局变量记录结果和路径，并通过回溯恢复现场。代码实现简洁，时间复杂度为O(2ⁿ)，空间复杂度为O(n)。

一、题目解析

题目给出一个不含重复数字的数组，要求我们返回该数组所有的子集。

这里的子集概念是高中知识，我们知道，集合是具有互异性和无序性的，即每个元素不相同、每个元素的位置可以互换。简单来说，就是必须不重复出现，虽数字的顺序不同但其实是同一个集合（如 $1, 2$ 和 $2, 1$ 是同一个集合），因此我们返回的结果也必须是不重复的。

注意，空集也是一个子集。

二、算法原理 + 代码实现

我们知道，一个集合的子集个数是 2ⁿ ，如果采用暴力穷举法那铁定超时了。

因此我们选择使用 递归法

递归解法一

决策树

我们使用递归来遍历数组nums，针对每一个数字，有 " 选择 " 和 " 不选择 "两个选项。

第一次递归，针对数字1，我们如果选择这个数字，那么就有一个结果 $1$ ，如果不选择这个数字，那么结果就是空集 ∅。再基于 " 选择了数字1 " 继续递归，若选择2，得到 $1, 2$ ，若不选择2，得到 $1$ ...

以此类推，我们可以得到决策树如下：

可以看到，结果都在叶子节点。

接下来我们根据决策树设计代码。

全局变量

这里需要两个全局变量，一个用于记录结果 ret，一个用于记录路径 path 。

由于不涉及到状态判断等操作，两个全局变量就足够了。

dfs 函数

函数头

我们这里思考一下每一次递归都会做的事情是什么？那就是 "是否选择当前数字"，而数字从哪里来？从题目所给数组里来，因此将 int nums 作为参数传递。

由于是递归形式的遍历，我们需要让每一次的操作知道当前的数字是谁，因此要将下标设计成参数之一。

函数体

每一次递归都要具体做哪些事呢？是否选择当前数字：

若选择当前数字，就将数字添加到 path 当中，然后基于这个情况，继续递归，将所有情况都遍历到（注意回溯时要恢复现场）
若不选择当前数字，就直接递归去拿到下一个数字

细节问题

回溯

刚刚我们已经谈到，在 dfs 函数中选择了数字，在回溯的时候需要恢复现场------就是将已经添加到 path 中的数字再删掉。

剪枝

我们其实算是穷举了，把所有的情况都遍历到，因此不涉及到剪枝的问题，

递归出口

结果都在决策树的叶子节点，因此当递归时的下标与 nums 的长度一致时，就认为到达了决策树的叶子节点了，此时记录下结果然后回溯。

代码实现

Java 复制代码

class Solution {
    List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }

    private void dfs(int[] nums, int pos) {
        // 递归出口
        if (pos == nums.length) {
            ret.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        // 选择当前数字
        path.add(nums[pos]);
        dfs(nums, pos + 1);
        path.remove(path.size() - 1);  // 回溯时恢复现场

        // 不选择当前数字
        dfs(nums, pos + 1);
    }
}

递归解法二

第二个解决思路是 " 按照子集的元素个数 " 来作决策树。

决策树

当子集中的元素个数是 0 ，结果只有一个空集 ∅；
当子集中的元素个数是 1，结果有三个： $1$ ， $2$ ， $3$ ；
当子集中的元素个数是 2，结果有三个： $1, 2$ ， $1, 3$ ， $2, 3$ ；
当子集中的元素个数是 3，结果有一个： $1, 2, 3$
当列举的子集中的元素个数超过了所给数组 nums 的长度时，就说明结束了，此时得到的结果就是： $\[ ∅$ , $1$ , $2$ , $1, 2$ , $3$ , $1, 3$ , $2, 3$ , $1, 2, 3$ ]

基于这个思路画出的决策树的每一个节点都是结果。

并且，每一次的基于某个数字的情况都是往该数字后面遍历。

比如此时子集当中只有一个元素且该元素是数字 1 的情况下，那么它基于数字 1 的所有组合情况都是往数字 1 后面遍历：遍历到 2，就组合成 $1, 2$ ，然后遍历到 3 ，就组合成 $1, 3$ ；对于子集当中只有一个元素且该元素是数字 2 的情况，它往后遍历只有数字 3，因此只能组成 $2, 3$ ；对于子集当中只有一个元素且该元素是数字 3 的情况，它的后面没有数字了，也就不再遍历了。

接下来根据决策树来设计代码。

全局变量

这里我们依然需要两个全局变量：path 记录路径，ret 记录结果。

dfs 函数

函数头

在这个思路中，我们的重复子问题是 " 往当前数字的后面遍历 "，因此首先需要知道当前数字是什么，而且我们是通过递归来实现遍历，自然是用到下标的，所以函数的参数应和解法一是一致的，int nums 和下标。

函数体

对于每一次递归所要做的事情，我们可以使用一个循环来遍历当前数字的后面数字，然后将数字添加到 path 中，接着基于这个再递归。

细节问题

回溯

在函数体中我们会基于当前数字往后遍历，因此会有回溯，也就必须要有恢复现场的操作。具体来说，就是当基于当前数字的情况递归回来之后，需要恢复现场，也就是将 path 当中最后的数字删掉。

剪枝

这里我们也不涉及到剪枝的操作。

递归出口

由于这个解法的决策树的每一个节点都是结果，因此我们一进入dfs函数就更新结果，但是不需要返回。出口主要由函数体中的循环来控制，当第一个递归中的循环结束了，递归也就结束了。

代码实现

Java 复制代码

class Solution {
    List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }

    private void dfs(int[] nums, int pos) {
        // 进入函数后直接更新结果
        ret.add(new ArrayList<>(path));

        // 从当前位置往后遍历
        for (int i = pos; i < nums.length; i++) {
            path.add(nums[i]);
            dfs(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);  // 回溯时恢复现场
        }
    }
}

文章到这里就结束啦，若有错误请尽管指出~

完