欧拉路径算法

文章目录

欧拉路径算法
- 一、前言
- 二、欧拉路径
- - [2.1 概念](#2.1 概念)
  - [2.2 逻辑梳理](#2.2 逻辑梳理)
  - [2.3 希尔霍尔策算法](#2.3 希尔霍尔策算法)
  - - [2.3.1 基本思想](#2.3.1 基本思想)
    - [2.3.2 思路](#2.3.2 思路)
    - [2.3.3 代码](#2.3.3 代码)
  - [2.4 习题](#2.4 习题)
  - - [2.4.1 洛谷](#2.4.1 洛谷)
- 三、小结

一、前言

今天，要学的是欧拉路径~

二、欧拉路径

2.1 概念

对于一个连通的图G，有：

欧拉路径 ：Euler Path，一条路径，能够不重复 的遍历完所有的边，一笔画完所有的边，所以有些涉及到欧拉路径的问题叫一笔画问题。
欧拉回路 ：一条路径，能够不重复地遍历完所有的边，并且回到起点 。可以看出欧拉回路也是欧拉路径。（特殊的一类）
半欧拉图：一个图，图中存在欧拉路径但不存在欧拉回路。
欧拉图：也称E图，图中存在欧拉回路。可以看出欧拉图也是半欧拉图。

2.2 逻辑梳理

如何判断有没有欧拉路径/欧拉回路？

无向图：度
- 存在欧拉路径的充要条件：度数为奇数的点只能有0/2个，剩下的点全是偶数即可。（0个是欧拉回路，2个是欧拉路径）
- 存在欧拉回路的充要条件：所有的点的度都得是0/偶数。
有向图：入度和出度
- 存在欧拉路径的充要条件：
  - 要么所有的点的出度均等于入度；
  - 要么除了两个点之外，其余所有点的出度=入度剩余的两个点：一个满足出度-入度=1（起点）一个满足入度-出度=1（终点）
- 存在欧拉回路的充要条件：所有点的出度均等于入度

注：无向图可以判断为有向图，有向图更重要

怎么找到欧拉路径/欧拉回路？

若没有明确告诉，先判断是不是欧拉图（度）
找欧拉路径/回路（希尔霍尔策算法 H i e r h o l z e r Hierholzer Hierholzer）

欧拉回路和欧拉路径的区别：起点终点不一致

欧拉路径，起点和终点固定（起点的入度-出度=1

读完题发现找欧拉回路/路径就可以用希尔霍尔策算法~特别有针对性！！！

2.3 希尔霍尔策算法

2.3.1 基本思想

基于 D F S DFS DFS算法，又名"套圈法"

2.3.2 思路

以找欧拉回路为例：

寻找子回路：从任意节点u出发，沿着边遍历图，遍历过程中，删除经过的边（打标记就行，还要减去度数）。如果遇到边都删除的节点，就回来了（回到u）。
检查有没有其他回路：有没有点的边还没有被删完的，有的话，往另一个方向找。
重复第二步，直至没有找到。

上图：

2.3.3 代码

选择一个合理的点作为起始点，遍历所有相邻边。
深度优先搜索，访问相邻顶点，将经过的边都不再访问。（打标记）

把第一个步骤和第二个步骤合并到 D F S DFS DFS中
如果当前顶点没有相邻边，则将顶点加入数组末尾。
最后将数组倒叙输出，就是从起点出发的欧拉回路。

cpp 复制代码

// 基于无向图
#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
struct Edge
{
    int v,nxt,eid;	// eid是边的编号
    bool del;		// =1表示这条边是否被遍历过了
}e[maxe];
//建图略。。。
// 为了方便我们查找某一条有向边的反向边，当我们向链式前向星中加入第i(i从1到m)条无向边x - y时，我们会将有向边 x->y 存储在e[i * 2]，有向边 y->x 存储在e[i * 2 - 1],
// 这样，e[i]和e[i^1]就互为反向边
// 我们可以直观地发现，如果时一个偶数x^1，那么答案是偶数x + 1，如果是一个奇数x^1，那么答案是奇数x-1
// ans1是一个类型为vector<int> 的变量，用来存储我们找到的回路（边表示）
// ans2是一个类型为vector<int> 的变量，用来存储我们找到的回路（点表示）
void dfs(int x)
{
    for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].nxt)
    {
        // 这条边已经被遍历过了，跳过
        if(e[i].del)	continue;
        // 删除有向边e[i]和它的反向边e[i^1]
        e[i].del=e[i^1].del=true;// 遍历为走过的样子
        // 继续遍历相邻点
        dfs(e[i].v);
        // 将边e[i]加入结果序列中
        ans1.push_back(e[i],eid);
    }
    ans2.push_back(x);
}
// 倒着输出ans即为答案（数组存的答案）

注：

终点一定是"死胡同"

如果是欧拉回路，先 d f s dfs dfs或者先记录答案都行，因为是回路，可以走回来

如果是欧拉路径，一定存在一个终点（死胡同）所以要先 D F S DFS DFS，后记录答案（入栈），此时可以保证记录答案时，该点的出边全部找完，相当于从终点到起点记录答案，可以保证x到终点的路径已经记录，此时x是未记录路径中的终点，避免出错。

正着走，可能会出错，倒着走不会

欧拉路径算法

欧拉路径算法

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一、前言

二、欧拉路径

2.1 概念

2.2 逻辑梳理

2.3 希尔霍尔策算法

2.3.1 基本思想

2.3.2 思路

2.3.3 代码

2.4 习题

2.4.1 洛谷

三、小结