力扣1911. 最大交替子序列和

一个下标从 0 开始的数组的交替和定义为偶数下标处元素之和减去奇数下标处元素之和。

比方说，数组 [4,2,5,3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。

给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的最大交替和（子序列的下标重新从 0 开始编号）。

一个数组的子序列是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的一个子序列（加粗元素），但是 [2,4,2] 不是。

示例 1：

输入：nums = [4,2,5,3]

输出：7

解释：最优子序列为 [4,2,5] ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。

代码

java 复制代码

class Solution {
    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        long[][] dp = new long[nums.length][2];
        dp[0][0] = nums[0];
        dp[0][1] = Long.MIN_VALUE;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][1]+nums[i], Math.max(nums[i],dp[i-1][0]));
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-nums[i]);
        }
        return Math.max(0,Math.max(dp[nums.length-1][0],dp[nums.length-1][1]));
    }
}

状态定义

我们定义 dp[i][j]：表示从前 i 个数中选择一个子序列，能得到的最大交替和。

其中 j 只有两个取值（0 或 1），代表子序列末尾元素的特性：

dp[i][0] ：子序列的长度为奇数。
- 这意味着最后一个元素的下标是偶数（0, 2, 4...）。
- 根据题目要求，这个元素是用来 "加" 的。
dp[i][1] ：子序列的长度为偶数。
- 这意味着最后一个元素的下标是奇数（1, 3, 5...）。
- 根据题目要求，这个元素是用来 "减" 的。

状态转移方程

对于第 i 个数 nums[i]，我们永远有两个选择：选它或者 不选它。

(1) 更新 `dp[i][0]`（末尾是加号的状态）

如果不选 nums[i] ：最大和维持前一个状态，即 dp[i-1][0]。
如果选 nums[i] ：
- 它可以接在一个"减号状态"后面：dp[i-1][1] + nums[i]。
- 它也可以作为子序列的第一个元素 （下标为 0）：nums[i]。
结论：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + nums[i], nums[i])。

(2) 更新 `dp[i][1]`（末尾是减号的状态）

如果不选 nums[i] ：最大和维持前一个状态，即 dp[i-1][1]。
如果选 nums[i] ：
- 它必须接在一个"加号状态"后面：dp[i-1][0] - nums[i]。
结论：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - nums[i])。

初始化

dp[0][0] = nums[0];

dp[0][1] = Long.MIN_VALUE;

为什么dp[0][0]为nums[0]?万一nums[0]为负数呢，为什么dp[0][0]不初始化为Math.max(0,nums[0])?

这里的关键在于dp数组的含义，我们定义dp数组为至少要选中一个数，因此dp[0][0]=nums[0]，而dp[0][1]不合法。至于一个数都不选的情况，直接放到return处判断，一个数不选就是0，不需要dp专门记录状态。