力扣1911. 最大交替子序列和

一个下标从 0 开始的数组的 交替和 定义为 偶数 下标处元素之 和 减去 奇数 下标处元素之 和 。

比方说，数组 4,2,5,3 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。

给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的 最大交替和 （子序列的下标 重新 从 0 开始编号）。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，2,7,4 是 4,2,3,7,2,1,4 的一个子序列（加粗元素），但是 2,4,2 不是。

示例 1：

输入：nums = 4,2,5,3

输出：7

解释：最优子序列为 4,2,5 ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。

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代码

class Solution {
    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        long[][] dp = new long[nums.length][2];
        dp[0][0] = nums[0];
        dp[0][1] = Long.MIN_VALUE;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][1]+nums[i], Math.max(nums[i],dp[i-1][0]));
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-nums[i]);
        }
        return Math.max(0,Math.max(dp[nums.length-1][0],dp[nums.length-1][1]));
    }
}

状态定义

我们定义 dp[i][j]：表示从前 i 个数中选择一个子序列，能得到的最大交替和。

其中 j 只有两个取值（0 或 1），代表子序列末尾元素的特性：

• dp[i][0] ：子序列的长度为奇数 。
  • 这意味着最后一个元素的下标是 偶数（0, 2, 4...）。
  • 根据题目要求，这个元素是用来 "加" 的。
• dp[i][1] ：子序列的长度为偶数 。
  • 这意味着最后一个元素的下标是 奇数（1, 3, 5...）。
  • 根据题目要求，这个元素是用来 "减" 的。

状态转移方程

对于第 i 个数 nums[i]，我们永远有两个选择：选它 或者 不选它。

(1) 更新 dp[i][0]（末尾是加号的状态）

• 如果不选 nums[i] ：最大和维持前一个状态，即 dp[i-1][0]。
• 如果选 nums[i] ：
  • 它可以接在一个"减号状态"后面：dp[i-1][1] + nums[i]。
  • 它也可以作为子序列的第一个元素 （下标为 0）：nums[i]。
• 结论 ：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + nums[i], nums[i])。

(2) 更新 dp[i][1]（末尾是减号的状态）

• 如果不选 nums[i] ：最大和维持前一个状态，即 dp[i-1][1]。
• 如果选 nums[i] ：
  • 它必须接在一个"加号状态"后面：dp[i-1][0] - nums[i]。
• 结论 ：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - nums[i])。

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初始化

dp00 = nums0;

dp01 = Long.MIN_VALUE;

为什么dp00为nums0?万一nums0为负数呢，为什么dp00不初始化为Math.max(0,nums0)?

这里的关键在于dp数组的含义，我们定义dp数组为至少要选中一个数，因此dp00=nums0，而dp01不合法。至于一个数都不选的情况，直接放到return处判断，一个数不选就是0，不需要dp专门记录状态。