CCF-CSP第41次认证第一题——平衡数

题目描述

小 P 在学习了位运算后，定义了如下"平衡数"：

对于一个正整数 aa，如果其二进制表示中 1 和 0 的个数相等，则称其为平衡数。

这里的二进制表示以 1 为最高位，即不考虑更高位用于补位的 0。例如，正整数 12 的二进制表示为 1100，包含两个 1 和两个 0。在实际存储中，更高位可能需要填 0 补位，如 00001100，在本题中无需考虑此种情况。

小 P 已经生成好了 n 个正整数 a1,a2,⋯,an，试编程统计里面有多少个平衡数。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入的第一行包含一个正整数 n，第二行包含空格分隔的 n 个正整数 a1,a2,⋯,an。

输出格式

输出到标准输出。

输出一个整数，表示 a1,a2,⋯,an中平衡数的个数。

样例输入

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3
2 5 9

样例输出

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样例解释

2 的二进制表示为 10，是平衡数；

5 的二进制表示为 101，不是平衡数；

9 的二进制表示为 1001，是平衡数。

子任务

50% 的测试点满足：0<ai≤256；

全部的测试点满足：0<n≤100 且 0<ai≤109。

题解

判断数字是否为平衡数的方法：首先将数字转换为二进制，然后统计其中0和1的个数是否相等。以下是具体实现方案：

二进制转换方法

将十进制数转换为二进制数的步骤如下：

对原数进行模2运算
将结果从低位到高位依次记录
将所得数值倒序排列即为对应的二进制数

在实际操作中，我们无需获取完整的二进制表示，只需统计位数即可。这里使用临时变量temp：

当模2结果为1时加1
否则减1
最终判断temp是否为0

位运算优化方案

采用异或(XOR)运算进行优化，通过五轮"对折"异或将32位整数的所有位信息压缩到最低位：

步骤	操作	效果
1	`x ^= x >> 16`	高16位与低16位异或 → 结果在低16位
2	`x ^= x >> 8`	高8位与低8位异或 → 结果在低8位
3	`x ^= x >> 4`	高4位与低4位异或 → 结果在低4位
4	`x ^= x >> 2`	高2位与低2位异或 → 结果在低2位
5	`x ^= x >> 1`	高1位与低1位异或 → 结果在最低位

最终通过!(x & 1)判断原始数字中1的个数是否为偶数。

示例演示

以x = 13为例（二进制：1101，3个1）：

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初始:  x = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101
第1轮: x ^ (x >> 16) → x不变
第2轮: x ^ (x >> 8) → x不变
第3轮: x ^ (x >> 4) → x不变
第4轮: x ^ (x >> 2) → x = ...0000 1110 (14)
第5轮: x ^ (x >> 1) → x = ...0000 1001 (9)
最终: !(x & 1) = false

代码如下

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int cnt,n,op;

bool check(int x){
    int temp=0;
    while(x){
        if(x%2)temp++;
        else temp--;
        x/=2;
    }
    return temp==0;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>op;
        if(check(op))cnt++;
    }
    cout<<cnt;
}

给一个位运算优化的方法

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int cnt,n,op;

bool check(int x){
    cout<<sizeof(x)<<endl;  
    x=x^x>>16;
    x=x^x>>8;
    x=x^x>>4;
    x=x^x>>2;
    x=x^x>>1;
    return !(x&1);
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>op;
        if(check(op))cnt++;
    }
    cout<<cnt;
}