1.一维前缀和
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https://www.nowcoder.com/practice/acead2f4c28c401889915da98ecdc6bf?tpId=230&tqId=2021480&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196题中说给了一个长度为n的数组a1，a2......an，这里数组下标从1开始计数。有q次查询，每次查有l和r两个参数，输出al到ar的和。下面来解决，比如：
先想一个暴力解法：模拟就行，让求哪一段区间和，从头到尾加一下就可以了O(n*q)。接下来想一个更优的解法：前缀和，该算法用来解决快速求出数组中某一个连续区间的和。前缀和算法一般分为两步进行：1.先处理出来一个前缀和数组。2.使用前缀和数组。下面细看：首先创建一个数组，这个数组和原始arr数组是同等规模的：
dp[i]表示[1，i]区间内所有元素的和，如dp[3]表示arr[1]+arr[2]+arr[3]的和放在dp[3]的位置：
这样就把dp数组初始化完成了，dp[i]=dp[i-1]+arr[i]。下面来使用：就是处理每次询问，比如：
可以算1~5区间的和，然后减1~2区间的和就剩下3~5区间的和了。1~5区间的和其实是dp[r]，1~2区间的和其实是dp[i-1]，这样dp中的数据减就可以了：
这样时间复杂度是O(q) + O(n)。这有个疑问，为什么我们的下标要从1开始计数？为了处理边界情况。比如询问[0,2]，得出dp[2]-dp[-1]，不能到-1位置，要特殊处理。若下标从1开始，最左边最低是1，[1,2]是dp[2] - dp[0]，0位置填写0即可，没有越界。下面来实现：
2.二维前缀和
【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)https://www.nowcoder.com/practice/99eb8040d116414ea3296467ce81cbbc?tpId=230&tqId=2023819&ru=/exam/oj&qru=/ta/dynamic-programming/question-ranking&sourceUrl=%2Fexam%2Foj%3Fpage%3D1%26tab%3D%25E7%25AE%2597%25E6%25B3%2595%25E7%25AF%2587%26topicId%3D196 先想一个暴力解法，就是模拟，让求哪个区间就把哪个区间的和都求出来。如：
问阴影区间就都依次详相加就可以，这样时间复杂度是O(n*m*q)。接下来想一个更优的解法，前缀和：1.预处理出来一个前缀和矩阵。2.使用前缀和矩阵。如：
重新创一个矩阵dp和原始arr数组规模一样大，dp[i][j]表示从[1,1]位置到[i,j]位置这段区间内所有元素的和。那如何快速求出dp[i][j]值是多少？若从前遍历原数组求和时间复杂度会很高，所以找个规律来快速求dp[i][j]的值。把图抽象出来：
要求dp[i][j]，相当于求一个区域的和，可以分为这样一些部分：
最终dp[i][j]=A+B+C+D，A区域的和相当于从[1,1]到[i-1,j-1]所有元素和，A区域相当于是dp[]i-1[j-i] 但B和C不好表示，因此改为dp[i][j] = A+B+A+C+D-A，此时A+B相当于从[1,1]到[i-1,j]所有元素的和，即dp[i-1][j]；A+C相当于从[1,1]到[i,j-1]，即dp[i][j-1]；D相当于arr[i][j]。因此得出dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1]，这样在O(1)得出dp[i][j]。那如何使用？如求[x1,y1]~[x2,y2]，继续抽象一下：
相当于A+B+C+D-(A+B)-(A+C)+A=D=dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]，时间复杂度是O(m*n)+O(q)，下面来实现：
3.寻找数组的中心下标
724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/find-pivot-index/description/ 以该下标为分界线，左边所有元素和是等于右边所有元素和的为中心下标：
若选择一个i点想判断它是否为中心下标，先算0~i-1区间的和，再算i+1~n-1区间的和，对比一下和看是否相等。若是暴力解法，每次枚举一个中心下标就左边加一通，右边加一通，这样时间复杂度是O(n^2)。可以通过前缀和思想优化暴力解法，首先预处理，该题需要前面元素的和，又需要后面元素的和，所以需要两个数组：f表示前缀和数组，g表示后缀和数组；f[i]表示区间0~i-1的所有元素和，g[i]表示i+1~n-1区间所有元素的和。下面有了数组想想怎么推数组的值：f[i]=f[i-1]+nums[i-1]，g[i]=g[i+1]+nums[i+1]。再来使用数组：枚举所有中心下标i，判断f[i]和g[i]是否相等，若相等返回。还有些细节问题：1.填f[0]是会有f[-1]+nums[-1]越界，因此提前写好f[0]=0；同理g[n-1]=g[n]+nums[n]，因此提前写g[n-1]=0。2.填f时从左向右填，填g时从右向左填。下面来实现(vector开始默认是0)：
4.除自身以外数组的乘积
想求某一个位置，就把除该位置外的数都乘起来再放到该位置，这样时间复杂度是O(n^2)。下面想个优化方法：
单看某个位置，想求i位置最终结果，先算0~i-1区间的积，再算i+1~n-1区间所有元素的积。所以可以用前缀和思想先预处理一下，再用后缀和思想处理一下，当求i位置时直接从前缀和后缀和拿值就可以了。定义f表示前缀积，g表示后缀积：求f[i]时不要i位置元素，仅需i-1位置及之前元素积，因此f[i]表示0~i-1区间内所有元素的乘积，f[i]=f[i-1]*nums[i-1]。g[i]表示i+1~n区间内所有元素的积，g[i]=g[i+1]*nums[i+1]。有了数组后下面来使用，最后要数组，就创建一个数组ret，然后依次填数组ret[i]=f[i]*g[i]。最后处理一下细节问题：f(0)=1，g(n-1)=1。下面来实现：
5.和为k的子数组
560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/subarray-sum-equals-k/description/ 先想一个暴力解法：
固定一个起始位置，直到找到一个位置不能停止(数据既有正又有负，找到一个不能停，可能正负抵消)，继续向后找，直到最后位置；下一个位置也是一样的，这里时间复杂度是O(N^2)。下面来优化，引入一个概念，以i位置结尾的所有的子数组，如：
这样也能把所有子数组枚举出来。那以i为结尾的子数组中和为k的如何找：
相当于找一个位置，从该位置到i和为k就行。直接找就是从i开始向前(左)加，直到为k，这样和暴力没有区别。现在这样看：
当枚举到i位置时，已经知道以i位置为结尾的前缀和是sum[i]，要找个区间让它和k，仅需找前一段和为sum[i]-k就行。当枚举到以i位置为结尾时，问题转换为在[0,i-1]区间内，有多少个前缀和等于sum[i]-k。若单纯把前缀和数组弄出来：
找i位置之前有多少个前缀和为sum[i]-k，从头到i-1遍历有多少个sum[i]-k，这样还不如暴力解法，还多弄了个前缀和数组。要想如何快速找到前缀和有多少个sum[i]-k，所以借助哈希快速查找，<int, int>，哈希表中存两个int，第一个int是前缀和，第二个int是前缀和出现的次数，这样仅需找前缀和出现了多少次。还有些细节：1.前缀和加入哈希的时机？所有前缀和都是算出来的，再都丢到哈希里？不行，因为可能i之后也有前缀和为sum[i]-k，会重复统计。因此再计算i位置之前，哈希表中只保存[0,i-1]位置前缀和。2.不用真的创建一个前缀和数组，用一个sum来标记前一个位置前缀和即可。3.如果整个前缀和为k呢：
要找一个前缀和数组为0，直接hash[0]=1，默认有一个。下面来实现：
6.和可被k整除的子数组
974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/subarray-sums-divisible-by-k/description/ 解法一是暴力枚举，暴力枚举出所有子数组，把和加起来看被k整除的有几个就行了。再看优化解法时先来补充一个知识：1.同余定理：（a -b）/ p = k......0，就是a-b的结果能够被p整除，说明a%p = b%p，它们余数是一样的。2.c++或java中%正数的结果以及修正：负%正=负，若想修正为正数，可通过(a%p + p) % p修改为正数。这道题和上一题很像，依旧是前缀和+哈希表：
依旧考虑i前面的子数组，该题找这个区间(黑线)能否被k整除，此时可找两个前缀和sum和x，若找的黑区间能被k整除，应该是(sum-x) / k = 0，然后推出sum%k=x%k，所以问题变成了在0~i-1区间找一找前缀和中有多少个条数等于sum%k。但是前缀和有可能是负数，所以改为余数等于(sum%k+k)%k。最后注意细节：1.没必要真创建一个前缀和数组，仅需把前缀和条数存哈希表中。定义哈希表<int，int>，第一个int表示前缀和条数，第二个是次数，剩下的细节和前一道题一样。下面来实现：
7.连续数组
525. 连续数组 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/contiguous-array/description/ 如[1,0,1,1,0,0,0,1]，这道题本质是让我们找一个连续的区域，使这段区间中的0和1数目相等，并且要找一个最长的连续区域。如果把0都变成-1：[1,-1,1,1,-1,-1,-1,1]，相当于在数组中找一段连续区域，使这段区域的和为0，相当于找最长和为0的子数组。那么用前缀和+哈希表来解决，和之前一样。下面来看细节问题：1.哈希表中存什么？hash<int，int>存的是前缀和与下标(统计长度)。2.什么时候存入哈希表？谁置于与对应前缀和绑定存入哈希表中：
3.如果有重复的<sum, i>如何存：
更新到i位置发现前面有个位置前缀和也为sum，只保留前面那一对<sum, j>。4.默认的前缀和为0情况如何存？hash[0]=-1。5.长度怎么算：
i-(j+1)+1等于i-j。下面来实现：
8.矩阵区域和
1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）https://leetcode.cn/problems/matrix-block-sum/description/题目给我们一个原始的矩阵mat和一个整数k，如：
最终让我们返回一个同等规模的矩阵answer，answer任意一个位置的值是向上扩展k个单位，此时围成的长方形周围所有元素的和。比如求answer[0,0]：
超出界的不考虑，这样answer[0,0]是12。下面来解决，这道题本质是快速求出矩阵某一区域的和，解法是一个二维前缀和：1.
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + mat[i][j]。2.使用：
ret = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]。回归题目：
想求answer[i][j]，必须知道在原始矩阵中表示的区域是什么，需要知道右下角和左上角的坐标，如：
求区域时要扩k个单位，这样就很好找，左上角(i-k,j-k)，右下角是(i+k,j+k)。但有些左边可能越界，所以可这样处理：
还有个问题是下标映射关系：为了处理公式中边界情况，dp矩阵下标是从1开始计数的，但题目给的矩阵是从0开始计数的：
所以填dp[1][1]时找的是原始矩阵中的mat[0][0]。所以让dp多加一行和一列：
此时要修改一下公式：当填dp[1][1]时，本质mat[0][0]找结果，也就是dp[x][y]时去mat[x-1][y-1]找值：
当使用时ans也是从0计数：
ans[0][0](x,y)对应dp[1][1](x+1,y+1)，可给ret统一加1或者通过ans[i][j]得到原始矩阵下标，然后+1：
下面来实现：
