线性算子 的迹为
的任意矩阵表示的迹，是线性代数中一个重要的基本事实：
线性算子 的迹定义为它在某组基下的矩阵表示的迹，且这个值与基的选择无关。
下面分几个层次来看：
1. 迹的基本定义（针对矩阵）
对于一个 矩阵
，
这是矩阵主对角线上元素的和，显然和基无关------因为这里矩阵是给定的，但我们现在讨论的是"线性算子的矩阵表示依赖于基"。
2. 线性算子的矩阵表示依赖于基
设 是有限维线性空间
上的线性算子。
取 的一组基
，则
在此基下的矩阵
满足：
取另一组基 ，过渡矩阵为
（即
），那么：
3. 迹与基无关的证明
需要证明：
对任意方阵 和可逆
成立。
证明：
交换求和顺序（有限和）：
而
。
所以：
因此 ：对同一个线性算子 ，取任何基得到的矩阵表示，其迹相同。
4. 几何/代数理解
迹是线性算子的内蕴性质，与坐标选择无关------就像行列式、特征多项式系数等一样。
-
迹 = 特征值之和（计代数重数）
设
是
因为对任意基下的矩阵，它的迹等于特征值之和，而特征值与基无关。
-
迹与双线性型无关，只依赖于算子本身 。
迹可以看作
5. 直观理解
假设 把空间拉伸或旋转，迹****大致反映了在每个方向上的平均"放大率"的和（但注意方向耦合后可能为负或零）。
更直观地：在某个特定基下，迹是矩阵对角元之和。如果换成另一个斜的基，对角元会变化，但它们的总和保持不变。这是因为迹是"对换不变量"以及"相似不变量"的结果，本质来自于矩阵乘法求迹的循环性。
6. 总结
"线性算子
这句话的意思是：
先选一组基写出矩阵