余弦定理
- 余弦定理是勾股定理在任意三角形中的推广。
公式分两类：
-
求边长
a2=b2+c2−2bc⋅cosA a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A a2=b2+c2−2bc⋅cosA
b2=a2+c2−2ac⋅cosB b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B b2=a2+c2−2ac⋅cosB
c2=a2+b2−2ab⋅cosC c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C c2=a2+b2−2ab⋅cosC
-
求角度
cosA=b2+c2−a22bc \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cosA=2bcb2+c2−a2
cosB=a2+c2−b22ac \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cosB=2aca2+c2−b2
cosC=a2+b2−c22ab \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} cosC=2aba2+b2−c2
例题：在三角形 △ABC\triangle ABC△ABC 中，已知：
- 边长 b = 5
- 边长 c = 6
- 夹角 A = 60°
问题：求第三条边 a 的长度是多少？
答：
a2=52+62−(2×5×6×12)a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 \times 5 \times 6 \times \frac{1}{2})a2=52+62−(2×5×6×21)
a2=25+36−(60×12)a^2 = 25 + 36 - (60 \times \frac{1}{2})a2=25+36−(60×21)
a2=61−30a^2 = 61 - 30a2=61−30
a2=31a^2 = 31a2=31
a≈5.57a \approx 5.57a≈5.57
例题：在三角形 △ABC\triangle ABC△ABC 中，已知：
- 边长 a = 4
- 边长 b = 5
- 边长 c = 6
问题：求 bc 夹角 A 的度数是多少？
答：
cosA=52+62−422×5×6\cos A = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \times 5 \times 6}cosA=2×5×652+62−42
cosA=4560\cos A = \frac{45}{60}cosA=6045
cosA=34\cos A = \frac{3}{4}cosA=43
cosA=0.75\cos A = 0.75cosA=0.75
结果：A≈41°或(30°<A<45°)A \approx 41° \quad 或 \quad (30° < A < 45°)A≈41°或(30°<A<45°)
余弦相似度
- 公式：
cosθ=b⋅c∣b∣⋅∣c∣ \cos\theta = \frac{b \cdot c}{|\mathbf{b}| \cdot |\mathbf{c}|} cosθ=∣b∣⋅∣c∣b⋅c
- 余弦相似度越大越相似（角度型指标）。
例题：某短视频 App 的视频标签包括 搞笑类、美女、知识类、科学类 。现在希望衡量不同用户之间的兴趣相似度。
为了便于计算，我们先把"用户对每个标签的偏好"量化成数值。这里用 0/1 表示是否喜欢（1=喜欢，0=不喜欢），统计如下：
| 用户 | 搞笑类 | 美女 | 知识类 | 科学类 |
|---|---|---|---|---|
| 用户A | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 用户B | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 用户C | 0 | 1 | 1 | 1 |
根据公式，得出：
用户A和用户B：
- 点积计算：
a⋅b=(1×1)+(1×0)+(0×1)+(0×0)=1 a \cdot b = (1\times1) + (1\times0) + (0\times1) + (0\times0) = 1 a⋅b=(1×1)+(1×0)+(0×1)+(0×0)=1
- 范数（长度）计算：
∣a∣=12+12+02+02=2 |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2+0^2} = \sqrt{2} ∣a∣=12+12+02+02 =2
∣b∣=12+02+12+02=2 |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2+0^2} = \sqrt{2} ∣b∣=12+02+12+02 =2
∣c∣=02+12+12+12=3 |\mathbf{c}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} ∣c∣=02+12+12+12 =3
- 余弦相似度公式计算：
cosθ=12⋅2=12=0.5 \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5 cosθ=2 ⋅2 1=21=0.5
用户A和用户C：
cosθ=12⋅3=12.44≈0.4 \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{2.44} \approx 0.4 cosθ=2 ⋅3 1=2.441≈0.4
用户B和用户C：
cosθ=12⋅3=12.44≈0.4 \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{2.44} \approx 0.4 cosθ=2 ⋅3 1=2.441≈0.4
由此得出：用户A和用户B余弦相似度最大，因此A和B兴趣最为相似。
相关知识补充：
常见角度值：
| 角度 (θ\thetaθ) | sinθ\sin \thetasinθ | cosθ\cos \thetacosθ |
|---|---|---|
| 0∘0^\circ0∘ | 000 | 111 |
| 30∘30^\circ30∘ | 12=0.5\frac{1}{2} = 0.521=0.5 | 32≈0.866\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86623 ≈0.866 |
| 45∘45^\circ45∘ | 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70722 ≈0.707 | 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70722 ≈0.707 |
| 60∘60^\circ60∘ | 32≈0.866\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86623 ≈0.866 | 12=0.5\frac{1}{2} = 0.521=0.5 |
| 90∘90^\circ90∘ | 111 | 000 |