【动态规划】路径问题：不同路径，珠宝的最高价值，下降路径最小和，最小路径和，地下城游戏

1. 不同路径 （LC62）

不同路径

题目描述

解题思路

• 状态表示：dpij表示到(i,j)有dpij中路径
• 状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
• 初始化：i=0 或 j=0 没有路径，dp[1][1]=1

代码实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        dp[1][1] = 1;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                if(i==1 && j == 1)
                    continue;
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

2. 不同路径 II（LC63）

不同路径II

题目描述

代码实现

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        dp[0][1] = 1;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                if(obstacleGrid[i-1][j-1]==0)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

3. 珠宝的最高价值（LC166）

珠宝的最高价值

题目描述

代码实现

class Solution {
    public int jewelleryValue(int[][] frame) {
        int m = frame.length;
        int n = frame[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                dp[i][j] = Math.max(frame[i-1][j-1]+dp[i-1][j],frame[i-1][j-1]+dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

4. 下降路径最小和（LC931）

下降路径最小和

题目描述

解题思路

• 状态表示：到达(i,j)最小路径和为dp[i][j]
• 状态转移方程:dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]+matrix[i-1][j-1]
• 初始化：
  1. 要在原数组的规模上 上方加上一行，两边各加一列，int[] dp = new int[n+1][n+2]
  2. 两边要初始化为无穷小，上方初始化为0。

代码实现

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        int[][] dp = new int[n+1][n+2];
        for(int[] arr : dp)
            Arrays.fill(arr,Integer.MAX_VALUE);
        for(int i = 0;i<=n+1;i++)
            dp[0][i]=0;

        for(int i = 1;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1],Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        int ret = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = 0;i<=n;i++)
            ret = Math.min(dp[n][i],ret);
        return ret;
    }
}

5. 最小路径和（LC64）

最小路径和

题目描述

解题思路

如果按照之前的思路，多加一行多加一列，初始化dp所有值都是0，直接用dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1]计算第一行和第一列，会直接把边界的0当做最小值，而之前填过的路径和永远比边界小。这种情况下应该先初始化第1行和第1列，而多加的一行0和一列0就没用了。可以初始化为无穷大

也可以直接创建相同规模的dp，初始化第一行第一列，再填表

代码实现

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];

        dp[0][0] = grid[0][0];
        
        //初始化第一行和第一列
        for(int i = 1;i<m;i++)
            dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i][0];
        for(int j = 1;j<n;j++)
            dp[0][j] = dp[0][j-1]+grid[0][j];


        for(int i = 1;i<m;i++)
            for(int j = 1;j<n;j++)
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

6. 地下城游戏（LC174）

地下城游戏

题目描述

解题思路

• 状态表示：(i,j)为起点到终点的最低生命值为dpij
• 状态转移方程：dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];找到右边和下边的最小值减去当前的数值。如果为负数，说明不需要额外的初始值就可以走到终点，直接置为1

代码实现

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int m = dungeon.length;
        int n = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];

        for(int i = 0;i<=m;i++)
            dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE;

        for(int j = 0;j<=n;j++)
            dp[m][j] = Integer.MAX_VALUE;

        dp[m-1][n] = dp[m][n-1] = 1;

        for(int i = m-1;i>=0;i--){
            for(int j = n-1;j>=0;j--){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],1);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}