1.一维DP的核心：
用一维数组 dp[i] 记录状态，通过清晰的递推关系（状态转移）求解。
2. 基础模型：线性递推
核心是找到 dp[i] 和 dp[i-1]、dp[i-2] 的关系。
-
爬楼梯 ：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] -
最小花费爬楼梯 ：
dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
3. 经典线性DP
这类问题通常需要在数组或序列上进行决策。
-
最大子段和 ：
dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]) -
最长上升子序列 (LIS) ：这是重中之重，其定义状态的方式（以
i结尾） 和**转移思想（向前查找）**是解决很多难题的关键 。
4. 一维DP优化技巧
-
滚动数组 ：当
dp[i]只依赖于前几个状态时，可以用几个变量代替整个数组，将空间复杂度从 O(n) 降到 O(1) 。 -
二维转一维（背包问题核心） ：这是最难也是最关键的部分。以 01背包 为例，核心优化是一维数组，必须逆序遍历背包容量，以确保每个物品只被选一次。这个思想会贯穿所有背包问题 。
模型：
| 背包类型 | 特点 | 核心代码（一维优化版） |
|---|---|---|
| 01背包 | 每种物品只能选0或1个 | for (int j=m; j>=v[i]; j--) dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]); |
| 完全背包 | 每种物品可以选无限个 | for (int j=v[i]; j<=m; j++) dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]); |
| 多重背包 | 每种物品有数量限制 | 使用二进制优化，将问题分解为01背包 |
01背包：
cpp
int dp[maxV] = {0};
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历物品
int v, w; cin >> v >> w; // 体积，价值
for (int j = m; j >= v; j--) { // 容量逆序
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
}
}
cout << dp[m] << endl;完全背包：
cpp
int dp[maxV] = {0};
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w; cin >> v >> w;
for (int j = v; j <= m; j++) { // 容量正序
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
}
}
cout << dp[m] << endl;多重背包：
cpp
int dp[maxV] = {0};
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w, s; cin >> v >> w >> s; // 体积，价值，数量
// 二进制拆分
for (int k = 1; k <= s; k <<= 1) {
int val = k * v, wei = k * w;
for (int j = m; j >= val; j--) { // 01背包逆序
dp[j] = max(dp[j], dp[j - val] + wei);
}
s -= k;
}
if (s > 0) { // 剩余部分
int val = s * v, wei = s * w;
for (int j = m; j >= val; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - val] + wei);
}
}
}
cout << dp[m] << endl;例题：
装箱问题
题目描述
有一个箱子容量为 V（正整数，0≤V≤20000），同时有0≤V≤20000），同时有n个物品（个物品（0 \leq n \leq 30$），每个物品有一个体积（正整数）。
要求 nn 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入描述
输入第一行，一个整数，表示箱子容量。
第二行，一个整数 nn，表示有 nn 个物品。
接下来 nn 行，分别表示这 nn 个物品的各自体积。
输出描述
输出一行，表示箱子剩余空间。
输入输出样例
示例 1
输入
24
6
8
3
12
7
9
7输出
0
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[30000];
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int t,m;
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int shj;
cin>>shj;
for(int j=t;j>=shj;j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-shj]+shj);//dp要表示体积，将+价值改为+shj即可
}
}
cout<<t-dp[t];
return 0;
}你有一架天平和 NN 个砝码，这 NN 个砝码重量依次是 W1,W2,⋅⋅⋅,WNW1,W2,⋅⋅⋅,WN。
请你计算一共可以称出多少种不同的重量？ 注意砝码可以放在天平两边。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 NN。
第二行包含 NN 个整数：W1,W2,W3,⋅⋅⋅,WNW1,W2,W3,⋅⋅⋅,WN。
输出格式
输出一个整数代表答案。
样例输入
3
1 4 6
样例输出
10
样例说明
能称出的 1010 种重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、111、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1=1；1=1；
2=6−4(2=6−4(天平一边放 66，另一边放 4)；4)；
3=4−1；3=4−1；
4=4；4=4；
5=6−1；5=6−1；
6=6；6=6；
7=1+6；7=1+6；
9=4+6−1；9=4+6−1；
10=4+6；10=4+6；
11=1+4+6。11=1+4+6。
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N;
ll a[200];
ll summ=0;
ll ans=0;
int dp[200][200000];
//dp[i][j]表示用到前i个砝码，能否称出j重量
//1为可以，0为不可以
int main()
{
// 请在此输入您的代码
cin>>N;
for(int i=1;i<=N;i++){
cin>>a[i];
summ+=a[i];
}
for(int i=1;i<=N;i++){
for(int j=1;j<=summ;j++){//遍历所有可能的重量
dp[i][j]=dp[i-1][j];//继承前一个状态
if(dp[i][j]==0){//如果普通继承下来，发现这个不行呢？
if(j==a[i]) dp[i][j]=1;//如果需要的重量正好就是第i个砝码，那么可以
if(dp[i-1][j+a[i]]==1) dp[i][j]=1;//如果前i-1个能搞出j+a[i]重量，那么把第i个砝码放到另一侧就行
if(dp[i-1][abs(j-a[i])]==1) dp[i][j]=1;//如果前i-1个砝码能搞出abs(j-a[i])重量
//那么把第i个砝码放同侧就行
}
}
}
for(int j=1;j<=summ;j++){
if(dp[N][j]==1) ans++;//遍历，看dp[][]==1的个数，就是答案
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有
𝑁
种蒸笼，其中第
𝑖
种蒸笼恰好能放
𝐴
𝑖
个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。
每当有顾客想买
𝑋
个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有
𝑋
个包子。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。
输入描述
第一行包含一个整数
𝑁
(
1
≤
𝑁
≤
100
)。
以下 N 行每行包含一个整数
𝐴
𝑖
(
1
≤
𝐴
𝑖
≤
100
)。
输出描述
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出 INF。
输入输出样例
示例 1
输入
2
4
5

输出
6

样例说明
凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
示例 2
输入
2
4
6

输出
INF

样例说明
所有奇数都凑不出来，所以有无限多个
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int num[105];
int dp[N];
int main()
{
// 请在此输入您的代码
int n;
int des = 0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&num[i]);
dp[num[i]]++;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i-num[j]<0)
{
continue;
}
dp[i]=dp[i-num[j]]+dp[i];
if(dp[i]!=0)
{
break;
}
}
if(dp[i]==0)
{
des++;
}
}
if(des>10000)
{
printf("INF");
return 0;
}
printf("%d",des);
return 0;
}题目描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成 4 颗一包和 7 颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是 17。大于 17 的任何数字都可以用 4 和 7 组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入描述
输入两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于 1000 )。
输出描述
输出一个正整数，表示最大不能买到的糖数。
不需要考虑无解的情况
输入输出样例
示例
输入
4 7输出
17
cpp
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int dp[10000005];
int arr[3];
int maxx = 0;
int main()
{
cin >> arr[1] >> arr[2];
dp[arr[1]] = 1;
dp[arr[2]] = 1;
for (int i = 1;i < 3;i++)
{
for (int j = arr[i];j < 10000000;j++)
{
if (dp[j])
{
dp[j + arr[i]] = 1;
}
if (dp[j]==0) maxx= j;
}
}
cout << maxx << endl;
return 0;
}题目描述
小明有一个容量为 VV 的背包。
这天他去商场购物，商场一共有 NN 种物品，第 ii 种物品的体积为 wiwi，价值为 vivi，数量为 sisi。
小明想知道在购买的物品总体积不超过 VV 的情况下所能获得的最大价值为多少，请你帮他算算。
输入描述
输入第 11 行包含两个正整数 N,VN,V，表示商场物品的数量和小明的背包容量。
第 2∼N+12∼N+1 行包含 33 个正整数 w,v,sw,v,s，表示物品的体积和价值。
1≤N≤1021≤N≤102，1≤V≤2×1021≤V≤2×102，1≤wi,vi,si≤2×1021≤wi,vi,si≤2×102。
输出描述
输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。
输入输出样例
示例 1
输入
3 30
1 2 3
4 5 6
7 8 9输出
39
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[2*N], w[2*N], s[2*N];
int f[2*N][2*N];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 0; j <= m; j++) {
for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k *w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}