一、树和二叉树
1. 树及二叉树的定义
1）树的定义
- 基本定义：树是n(n⩾0)个结点的有限集合。当n=0时称为空树。
- 递归特性：在任一非空树中，有且仅有一个根结点；其余结点可分为m(m⩾0)个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm，每个子集本身又是一棵树（子树）。
- 示例说明：如图中A为根结点，其子树包含BEF、C、DG三部分，其中BEF子树的根是B，DG子树的根是D，形成递归结构。
2）树的相关概念
- 结点关系：
- 双亲/孩子：A是B的双亲结点，B是A的孩子结点
- 兄弟结点：同双亲的结点（如B、C、D互为兄弟）
- 度的定义：
- 结点度：子树的个数（如A的度为3，B的度为2）
- 叶子结点：度为0的结点（如E、F、C、G）
- 内部结点：非根非叶结点（如B、D）
- 层次结构：
- 层次划分：根为第1层，孩子结点逐层递增（如图中最大层次为3）
- 树的高度：最大层次数决定树高
- 特殊分类：
- 有序树：子树顺序不可交换（需明确左右）
- 森林：m(m⩾0)棵互不相交树的集合
3）二叉树的定义
- 核心特征：
- 结点限制：每个结点最多两棵子树（左/右子树）
- 严格区分：必须明确子树为左或右，即使只有一棵子树
- 递归定义：二叉树是n(n⩾0)个结点的有限集合，或是空树，或由根结点+两棵不相交的二叉树（左/右子树）组成
4）树和二叉树的区别
- 子树区分：
- 二叉树必须区分左右子树（如单子树需标注左/右）
- 普通树不要求子树顺序
- 度数限制：
- 二叉树结点最大度为2（0/1/2个子树）
- 普通树结点度数无限制（如图中A的度为3）
- 结构差异：二叉树是特殊的有序树，但有序树不一定是二叉树
2. 二叉树的性质
1）二叉树第i层上至多有2^i-1个节点
- 推导过程：通过满二叉树的实例演示，第一层1个节点(2^{1-1})，第二层2个(2^{2-1})，第三层4个(2^{3-1})，归纳得出第i层最多有2^{i-1}个节点。
- 应用技巧：遇到具体层数计算时，可通过简单层数推导验证公式，如第七层最多有2^6=64个节点。
- 注意点：层数编号从1开始，根节点位于第一层。
2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
- 数学推导：将各层最大节点数求和，形成等比数列S=1+2+4+...+2^{k-1}，使用求和公式
得出2^k-1。
- 实例验证：深度为3的满二叉树节点数为1+2+4=7，与2^3-1=7一致。
- 特殊说明：深度k≥1，空树(k=0)不符合此性质。
3）终端结点与度为2结点的关系
- 术语说明：
- 终端结点(n0)：度数为0的叶子节点
- 度2结点(n2)：有两个子节点的中间节点
- 双重证明：
- 节点总数n=n0+n1+n2
- 从分支角度：n-1=2n_2+n_1（每个节点有且只有一个父节点）
- 最终关系：联立方程消元后得到n0=n2+1
- 记忆技巧：每增加一个度2节点就会"产生"一个新的叶子节点
3. 满二叉树和完全二叉树
1）满二叉树的定义
- 核心特征：深度为k的二叉树恰好包含2^k-1
个节点，所有层都达到最大节点数。 - 示例说明：深度3的满二叉树必有7个节点（1+2+4），不存在任何空缺位置。
- 性质关联：是性质1.2中"最多节点"情况的特例。
2）完全二叉树
- 编号规则：节点按层序编号（从上到下，从左到右）必须与同深度满二叉树的编号连续对应。
- 判断要点：
- 除最后一层外，其他层必须全满
- 最后一层节点必须从左向右连续排列
- 反例说明：若中间出现编号空缺（如缺少左子节点但有右子节点）则不是完全二叉树。
- 实际应用：常用于实现堆数据结构。
二、知识小结
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| 知识点 | 核心内容 | 考试重点/易混淆点 | 难度系数 |
| 树的基本定义 | n个结点的有限集合，n≥0（空树），非空树有且仅有一个根结点，其余结点分为m个互不相交的子树 | 空树概念、根结点唯一性、子树互不相交特性 | ⭐⭐ |
| 树的相关概念 | 双亲/孩子/兄弟结点、结点的度（子树个数）、叶子结点（度=0）、内部结点（非终端非根）、层次（根为第1层）、树的高度（最大层数）、有序树/无序树 | 度与层次计算、终端/非终端结点区分、有序树必须保持子树顺序 | ⭐⭐⭐ |
| 二叉树定义 | n≥0的结点集合，空树或由根+两棵不相交的左右子树组成（必须区分左右） | 与普通树的区别：子树不超过2个且必须明确左右 | ⭐⭐ |
| 二叉树性质1 | 第i层最多有2^(i-1)个结点（i≥1） | 计算特定层最大结点数（如第5层最多16个） | ⭐⭐⭐⭐ |
| 二叉树性质2 | 深度为k的树最多有2^k-1个结点（k≥1） | 满二叉树结点总数计算 | ⭐⭐⭐⭐ |
| 二叉树性质3 | 终端结点数n0=度为2的结点数n2+1 | 重要公式推导（通过结点度数关系证明） | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| 满二叉树 | 深度为k且有2^k-1个结点的二叉树（所有层全满） | 与完全二叉树的区别 | ⭐⭐ |
| 完全二叉树 | 结点编号与同深度满二叉树的1~n编号严格对应（仅允许最后一层右侧连续缺失） | 编号连续性判断（如缺中间结点则非完全二叉树） | ⭐⭐⭐⭐ |