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21.乘积最大子数组
题目链接：
题目描述：
题目示例：
解法(动态规划)：
算法思路：
这道题与「最大子数组和」非常相似，我们可以效仿着定义一下状态表示以及状态转移：
i.dpi表示以i为结尾的所有子数组的最大乘积，
ii. dpi = max(numsi, dpi - 1 * numsi);
由于正负号的存在，我们很容易就可以得到，这样求dpi的值是不正确的。因为dpi-1的信息并不能让我们得到dpi的正确值。比如数组-2，5，-2，用上述状态转移得到的dp数组为-2，5，-2，最大乘积为5 。但是实际上的最大乘积应该是所有数相乘，结果为20。
究其原因，就是因为我们在求dp2的时候，因为nums2是一个负数，因此我们需要的是「i -1 位置结尾的最小的乘积(-10)」，这样一个负数乘以「最小值」，才会得到真实的最大值。
因此，我们不仅需要一个「乘积最大值的dp表」，还需要一个「乘积最小值的dp表」。
1.状态表示：
fi表示:以i结尾的所有子数组的最大乘积，
gi表示:以i结尾的所有子数组的最小乘积。
2.状态转移方程：
遍历每一个位置的时候，我们要同步更新两个dp 数组的值。
对于fi，也就是「以为结尾的所有子数组的最大乘积」，对于所有子数组，可以分为下面三种形式：
i.子数组的长度为1，也就是numsi;
ii.子数组的长度大于1 ，但numsi>0，此时需要的是i-1 为结尾的所有子数组的最大乘积fi-1，再乘上numsi，也就是numsi* fi- 1;
iii.子数组的长度大于1，但numsi<0，此时需要的是i-1为结尾的所有子数组的最小乘积gi-1，再乘上numsi，也就是numsi* gi-1;
(如果numsi=0，所有子数组的乘积均为0，三种情况其实都包含了)
综上所述，fi = max(numsi， max(numsi* fi - 1， numsi * gi - 1) ).
对于gi，也就是「以i为结尾的所有子数组的最小乘积」，对于所有子数组，可以分为下面三种形式：
i.子数组的长度为1，也就是numsi;
ii.子数组的长度大于1，但numsi>0，此时需要的是i-1为结尾的所有子数组的最小乘积gi-1，再乘上numsi，也就是numsi* gi-1;
iii.子数组的长度大于1 ，但numsi<0 ，此时需要的是i1 为结尾的所有子数组的最大乘积fi-1，再乘上 numsi，也就是 numsi * fi-1;
综上所述， gi = min(numsi， min(numsi * fi -1， numsi * gi - 1))
(如果numsi=0，所有子数组的乘积均为0，三种情况其实都包含了)
3.初始化：
可以在最前面加上一个辅助结点，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点:
i.辅助结点里面的值要保证后续填表是正确的;
ii.下标的映射关系。
在本题中，最前面加上一个格子，并且让f0=g0=1即可。
4.填表顺序：
根据状态转移方程易得，填表顺序为「从左往右，两个表一起填」。
5.返回值：
返回 f 表中的最大值。
C++算法代码：
cpp
class Solution {
public:
int maxProduct(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> max_dp(n);
vector<int> min_dp(n);
max_dp[0] = min_dp[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(nums[i] >= 0)
{
max_dp[i] = max(max_dp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
min_dp[i] = min(min_dp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
}
else
{
max_dp[i] = max(min_dp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
min_dp[i] = min(max_dp[i - 1] * nums[i], nums[i]);
}
}
int ret = INT_MIN;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
ret = max(ret, max_dp[i]);
}
return ret;
}
};算法总结及流程解析：
22.乘积为正数的最长子数组
题目链接：
题目描述：
题目示例：
解法(动态规划)：
算法思路：
继续效仿「最大子数组和」中的状态表示，尝试解决这个问题。
状态表示：dpi表示「所有以i 结尾的子数组，乘积为正数的最长子数组的长度」。
思考状态转移:对于i位置上的numsi，我们可以分三种情况讨论：
i.如果numsi=0，那么所有以i为结尾的子数组的乘积都不可能是正数，此时dpi=0;
ii.如果numsi>0 ，那么直接找到dpi-1的值(这里请再读一遍dpi-1代表的意义，并且考虑如果dpi-1的结值是0 的话，影不影响结果)，然后加1即可，此时dpi=dpi-1+1;
iii.如果numsi<0，这时候你该蛋疼了，因为在现有的条件下，你根本没办法得到此时的最长长度。因为乘法是存在「负负得正」的，单单靠一个dpi-1，我们无法推导出dpi的值。
但是，如果我们知道「以i-1为结尾的所有子数组，乘积为负数的最长子数组的长度」negi-1，那么此时的dpi是不是就等于negi-1+1呢?
通过上面的分析，我们可以得出，需要两个dp表，才能推导出最终的结果。不仅需要一个「乘积为正数的最长子数组」，还需要一个「乘积为负数的最长子数组」。
1.状态表示：
fi表示：以i结尾的所有子数组中，乘积为「正数」的最长子数组的长度;
gi表示：以i结尾的所有子数组中，乘积为「负数」的最长子数组的长度。
2.状态转移方程：
遍历每一个位置的时候，我们要同步更新两个dp数组的值。
对于fi，也就是以i为结尾的乘积为「正数」的最长子数组，根据numsi的值，可以分为三种情况：
i.numsi=0时，所有以i为结尾的子数组的乘积都不可能是正数，此时fi=0;
ii. numsi > 0时，那么直接找到fi - 1的值(这里请再读一遍fi-1代表的意义，并且考虑如果fi-1的结值是0的话，影不影响结果)，然后加一即可，此时 fi= fi- 1 + 1;
iii. numsi<0时，此时我们要看gi-1 的值(这里请再读一遍 gi-1代表的意义。因为负负得正，如果我们知道以i-1为结尾的乘积为负数的最长子数组的长度，加上1即可)，根据gi-1的值，又要分两种情况：
-
gi-1=0 ，说明以i-1 为结尾的乘积为负数的最长子数组是不存在的，又因为numsi<0，所以以i 结尾的乘积为正数的最长子数组也是不存在的，此时fi=0;
-
gi - 1 !=0，说明以i-1为结尾的乘积为负数的最长子数组是存在的，又因为numsi< 0，所以以i 结尾的乘积为正数的最长子数组就等于gi-1+1；
综上所述，numsi< 0时，fi =gi-1 == 0 ? 0 : g\[i-1 + 1；
对于gi，也就是以i为结尾的乘积为「负数」的最长子数组，根据numsi的值，可以分为三种情况：
i.numsi=时，所有以i为结尾的子数组的乘积都不可能是负数，此时gi=0;
ii.numsi < 0时，那么直接找到fi-1的值(这里请再读一遍fi-1代表的意义，并且考虑如果fi-1的结值是的话，影不影响结果)，然后加一即可(因为正数*负数=负数)，此时 gi = fi -1+ 1 ;
iii.numsi>0 时，此时我们要看gi-1的值(这里请再读一遍 gi -1代表的意义。因为正数*负数=负数)，根据gi-1的值，又要分两种情况：
1.gi- 1= ，说明以i- 1 为结尾的乘积为负数的最长子数组是不存在的，又因为numsi>0，所以以i结尾的乘积为负数的最长子数组也是不存在的，此时fi=0;
- gi-1 != 0 ，说明以i-1 为结尾的乘积为负数的最长子数组是存在的，又
因为numsi>0，所以以i 结尾的乘积为正数的最长子数组就等于gi-1 + 1;
综上所述， numsi > 0 时, gi = gi -1 == 0 ? 0 : g\[i - 1 + 1 ;
这里的推导比较绕，因为不断的出现「正数和负数」的分情况讨论，我们只需根据下面的规则，严格找到此状态下需要的dp 数组即可：
i.正数* 正数=正数
ii.负数*负数=正数
iii.负数*正数=正数*负数=负数
3.初始化：
可以在最前面加上一个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：
i.辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」;
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，最前面加上一个格子，并且让f0= g0= 0即可。
4.填表顺序：
根据「状态转移方程」易得，填表顺序为「从左往右，两个表一起填」。
5.返回值：
根据「状态表示」，我们要返回f 表中的最大值。
C++算法代码：
cpp
class Solution {
public:
int getMaxLen(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
vector<int> pos_dp(n);
vector<int> neg_dp(n);
if(nums[0] > 0)
{
pos_dp[0] = 1;
neg_dp[0] = 0;
}
else if(nums[0] < 0)
{
pos_dp[0] = 0;
neg_dp[0] = 1;
}
else
{
pos_dp[0] = neg_dp[0] = 0;
}
for(int i = 1; i < n; i++)
{
if(nums[i] > 0)
{
pos_dp[i] = pos_dp[i - 1] + 1;
neg_dp[i] = neg_dp[i - 1] == 0 ? 0 : neg_dp[i - 1] + 1;
}
else if(nums[i] < 0)
{
pos_dp[i] = neg_dp[i - 1] == 0 ? 0 : neg_dp[i - 1] + 1;
neg_dp[i] = pos_dp[i - 1] + 1;
}
else
{
pos_dp[i] = neg_dp[i] = 0;
}
}
int ret = INT_MIN;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
ret = max(ret, pos_dp[i]);
}
return ret;
}
};算法总结及流程解析：
结束语
到此，21.乘积最大子数组，22.乘积为正数的最长子数组 这两道算法题就讲解完了。**对于乘积最大子数组问题：采用双DP数组分别记录以i结尾的最大和最小乘积，通过比较当前元素、与前驱最大乘积或最小乘积的组合来递推求解；对于乘积为正数的最长子数组问题：同样使用双DP数组分别记录以i结尾的正数和负数乘积最长子数组长度，根据当前元素正负分情况讨论状态转移。**希望大家能有所收获！