考研408计算机学科专业基础综合 数据结构复习

考研408计算机学科专业基础综合 数据结构复习

第一页：数据结构（一）------基础+线性表（高频）

一、数据结构核心基础（必背）

1. 数据结构定义 ：相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合，包括逻辑结构 （集合、线性、树形、图状）和物理结构（顺序存储、链式存储），核心是"结构与操作的匹配"。

2. 算法定义与特性：解决特定问题的有限步骤集合，特性（必背）：有穷性、确定性、可行性、输入（≥0）、输出（≥1）。

3. 算法复杂度：高频考点，重点掌握计算方法

① 时间复杂度：算法执行语句的频度，只保留最高阶项（如O(n²)、O(nlog₂n)），忽略常数和低阶项；

② 空间复杂度：算法执行所需额外存储空间（不包括输入输出数据），分为原地工作（O(1)）和需要额外空间（如O(n)）；

③ 高频复杂度场景：冒泡排序O(n²)、快速排序O(nlog₂n)、二分查找O(log₂n)。

二、线性表（高频考点，每年必考）

1. 线性表定义：n个数据元素的有限序列，特点：元素有序、每个元素有唯一前驱和后继（除首尾）。

2. 顺序表（顺序存储）

① 存储方式：用连续的存储空间存储元素，下标从0开始；

② 核心操作（必背实现思路）：插入（平均O(n)，需移动元素）、删除（平均O(n)）、查找（按值O(n)，按位O(1)）；

③ 优点：随机访问快、存储密度高；缺点：插入删除效率低、扩容麻烦。

3. 链表（链式存储）

① 分类：单链表（只有后继指针）、双链表（有前驱+后继指针）、循环链表（首尾相连）；

② 核心操作（必背）：单链表插入（找到前驱节点，修改指针）、删除（找到前驱节点，断开指针）、遍历（O(n)）；

③ 优点：插入删除效率高（O(1)，找到节点后）、无需扩容；缺点：随机访问慢（O(n)）、存储密度低（需存指针）。

4. 高频考点：单链表逆置、双链表插入删除、循环链表判空/判满、顺序表与链表的对比（选择题必考）。

第二页：数据结构（二）------栈、队列、串（高频）

三、栈（高频，选择+大题必考）

1. 栈的定义：先进后出（LIFO）的线性表，只允许在栈顶进行插入（push）和删除（pop）操作。

2. 存储方式：

① 顺序栈：用数组实现，栈顶指针top（初始-1，栈满top=maxsize-1）；

② 链栈：用单链表实现，栈顶为表头，无需考虑栈满（除非内存不足）。

3. 核心应用（必背）：

① 表达式求值（后缀表达式，大题高频）；② 括号匹配（选择题高频）；③ 递归调用（栈保存递归上下文）；④ 进制转换。

4. 易错点：顺序栈的栈满/栈空判断、链栈的插入删除方向（栈顶为表头，插入在表头）。

四、队列（高频，选择题为主）

1. 队列的定义：先进先出（FIFO）的线性表，只允许在队尾插入（enqueue）、队头删除（dequeue）。

2. 存储方式：

① 顺序队列：用数组实现，队头front、队尾rear（初始0），存在"假溢出"问题；

② 循环队列（重点）：解决假溢出，队满条件（rear+1）%maxsize == front，队空条件front == rear；

③ 链队列：用单链表实现，队头为表头，队尾为表尾，无需考虑队满。

3. 核心应用：进程调度（操作系统联动）、缓冲队列、广度优先搜索（BFS，与图联动）。

五、串（低频但必背，选择题为主）

1. 串的定义：由零个或多个字符组成的有限序列（区别于线性表，元素是字符）。

2. 串的存储：定长顺序存储、堆分配存储、块链存储（了解即可）。

3. 高频考点：串的模式匹配算法（必背）------

① 暴力匹配（BF算法）：时间复杂度O(mn)，简单但低效；

② KMP算法（重点）：时间复杂度O(m+n)，核心是求next数组，避免回溯主串（无需背代码，掌握next数组求解方法和匹配过程）。

第三页：数据结构（三）------数组、矩阵、广义表（低频，抓重点）

六、数组（低频，选择题为主）

1. 数组的存储：行优先（C语言）、列优先（Fortran语言），重点掌握二维数组地址计算（必背）。

① 二维数组a[m][n]，行优先存储：a[i][j]的地址 = 基地址 + (i*n + j)*每个元素所占字节数；

② 列优先存储：a[i][j]的地址 = 基地址 + (j*m + i)*每个元素所占字节数。

七、矩阵（高频考点，选择题+大题）

1. 特殊矩阵存储（重点）：

① 对称矩阵：只存储上三角或下三角元素，节省空间，地址计算（如下三角矩阵：k = i*(i+1)/2 + j）；

② 三角矩阵：上三角（下三角全为0）或下三角（上三角全为0），存储方式同对称矩阵，额外存储一个常数（0的区域）；

③ 稀疏矩阵：非零元素极少，存储方式（必背）：三元组表（行、列、值）、十字链表（了解即可）。

八、广义表（低频，了解核心）

1. 广义表定义：线性表的推广，元素可以是原子（单个元素）或子表（另一个广义表），如LS = (a, (b,c), d)。

2. 核心考点：广义表的深度（嵌套层数）、长度（最外层元素个数），如上述LS长度为3，深度为2。

第四页：数据结构（四）------树与二叉树（高频，必考）

九、树的基本概念（必背）

1. 树的定义：n≥0个节点的有限集合，n=0为空树，n≥1时存在一个根节点，其余节点分为若干个互不相交的子树。

2. 核心术语（必背）：

① 节点的度：节点拥有的子树个数（叶子节点度为0，根节点度为子树个数）；

② 树的度：树中所有节点的最大度；

③ 深度（高度）：根节点深度为1，叶子节点深度为树的高度；

④ 层次：根节点为第1层，依次向下递增。

3. 树的性质（必背，选择题高频）：

① 树中节点总数 = 所有节点的度之和 + 1；

② 度为k的树，第i层最多有k^(i-1)个节点；

③ 高度为h的k叉树，最多有(k^h - 1)/(k-1)个节点。

十、二叉树（核心，每年必考）

1. 二叉树定义：每个节点最多有2个子树（左子树、右子树），有序（左、右子树不能交换）。

2. 二叉树的性质（必背）：

① 第i层最多有2^(i-1)个节点；

② 高度为h的二叉树，最多有2^h - 1个节点（满二叉树）；

③ 任意二叉树，叶子节点数 = 度为2的节点数 + 1（n0 = n2 + 1）；

④ 完全二叉树：除最后一层外，每一层节点数都满，最后一层节点从左到右连续（重点，地址计算）。

3. 二叉树的存储：

① 顺序存储：适用于完全二叉树，节点i的左孩子2i，右孩子2i+1，父节点i/2（向下取整）；

② 链式存储（二叉链表）：每个节点有数据域、左指针（lchild）、右指针（rchild），重点掌握结构定义和遍历。

4. 二叉树的遍历（必背，大题高频）：

① 前序遍历（根→左→右）；② 中序遍历（左→根→右）；③ 后序遍历（左→右→根）；④ 层序遍历（按层次，从上到下、从左到右，用队列实现）；

⑤ 高频考点：根据两种遍历序列（如前序+中序）还原二叉树（大题必考）。

第五页：数据结构（五）------树的应用+图（高频，必考）

十一、树的应用（高频）

1. 哈夫曼树（最优二叉树，必背）：

① 定义：带权路径长度（WPL）最小的二叉树，权值越大的节点离根越近；

② 构造方法（哈夫曼算法）：每次选两个权值最小的节点，合并为一个新节点，新节点权值为两者之和，重复直到只剩一个节点；

③ 应用：哈夫曼编码（前缀编码，无歧义，用于数据压缩）。

2. 二叉排序树（BST，高频）：

① 定义：左子树所有节点值 < 根节点值，右子树所有节点值 > 根节点值，左右子树也为二叉排序树；

② 核心操作：插入（按大小插入，保持排序特性）、删除（分叶子节点、度为1、度为2节点，重点）、查找（平均O(log₂n)）；

③ 易错点：二叉排序树的查找效率与树的高度相关，最坏情况（单支树）O(n)。

3. 平衡二叉树（AVL树，高频）：

① 定义：左右子树高度差（平衡因子）的绝对值 ≤ 1，平衡因子=左子树高度-右子树高度；

② 失衡调整（必背）：LL型、RR型、LR型、RL型，掌握旋转方法（无需背代码，掌握旋转逻辑）。

十二、图（核心，每年必考，选择+大题）

1. 图的基本概念（必背）：

① 定义：由顶点集V和边集E组成（G=(V,E)），分为无向图（边无方向）、有向图（边有方向）；

② 核心术语：顶点的度（无向图：边数；有向图：入度+出度）、路径（顶点序列）、环（起点=终点的路径）、连通图（任意两顶点可达）、强连通图（有向图，任意两顶点相互可达）。

2. 图的存储（必背，大题高频）：

① 邻接矩阵：n×n矩阵，a[i][j]=1表示顶点i和j有边，0表示无边，优点：查询快（O(1)），缺点：空间复杂度O(n²)（适合稠密图）；

② 邻接表：每个顶点对应一个链表，存储其邻接顶点，优点：空间复杂度O(n+e)（适合稀疏图），缺点：查询慢（O(n)）。

3. 图的遍历（必背，大题高频）：

① 深度优先搜索（DFS）：用栈实现，优先访问当前顶点的邻接顶点，再回溯（类似树的前序遍历）；

② 广度优先搜索（BFS）：用队列实现，按层次访问，先访问当前顶点的所有邻接顶点，再依次访问它们的邻接顶点（类似树的层序遍历）。

第六页：数据结构（六）------图的应用+排序（高频，必考）

十三、图的应用（必背，大题高频）

1. 最小生成树（MST，必考）：

① 定义：连通图中，权值和最小的生成树（无环，包含所有顶点）；

② 算法（必背）：

• Prim算法：从一个顶点出发，逐步添加权值最小的边，适合稠密图，时间复杂度O(n²)；

• Kruskal算法：按边的权值从小到大排序，依次添加不形成环的边，适合稀疏图，时间复杂度O(eloge)。

2. 最短路径（必考）：

① Dijkstra算法：求单源最短路径（从一个顶点到其他所有顶点），不能处理负权边，时间复杂度O(n²)；

② Floyd算法：求所有顶点之间的最短路径，可处理负权边（不能有负权环），时间复杂度O(n³)；

③ 高频考点：两种算法的实现思路、步骤，能手动计算最短路径。

3. 拓扑排序（高频，有向图）：

① 定义：对有向无环图（DAG）的顶点进行排序，使得对于每一条有向边(u→v)，u在排序中位于v之前；

② 算法： Kahn算法（用队列，删除入度为0的顶点，更新邻接顶点入度）、DFS拓扑排序（后序遍历逆序）；

③ 应用：任务调度、课程安排（避免循环依赖）。

十四、排序（必考，选择+大题，重点掌握）

1. 排序分类：

① 稳定排序：冒泡、插入、归并、基数排序；② 不稳定排序：选择、快速、希尔、堆排序；

③ 内部排序：所有数据在内存中排序；④ 外部排序：数据量大，需借助外存（了解即可）。

2. 高频排序算法（必背实现思路、复杂度、稳定性）：

① 冒泡排序：相邻元素比较，逆序则交换，O(n²)，稳定；

② 插入排序：将元素插入已排序序列，O(n²)，稳定；

③ 快速排序（重点）：选基准元素，分区（小于基准放左，大于放右），递归排序，O(nlog₂n)，不稳定，最坏O(n²)；

④ 归并排序（重点）：分治思想，将序列分成两半，分别排序，再合并，O(nlog₂n)，稳定；

⑤ 堆排序（重点）：构建大根堆/小根堆，每次取出堆顶元素，调整堆，O(nlog₂n)，不稳定；

⑥ 希尔排序：插入排序的改进，按步长分组排序，O(n^1.3)，不稳定。

3. 高频考点：排序算法的时间/空间复杂度、稳定性对比（选择题必考）、快速排序的分区过程、归并排序的合并过程（大题必考）。