LeetCode 201. 数字范围按位与：位运算高效解题指南

在刷LeetCode的过程中，「数字范围按位与」是一道非常经典的位运算题目，它看似简单，却藏着位运算的核心思维------抓共性、弃差异。今天就来详细拆解这道题，从问题本质到代码实现，帮你彻底搞懂背后的逻辑，轻松掌握解题技巧。

一、题目回顾：明确需求

题目很简洁：给定两个整数 left 和 right，代表区间 [left, right]，返回这个区间内所有数字按位与的结果（包含左右两个端点）。

举个例子帮助理解：

• 当 left = 5，right = 7 时，区间内数字为 5（101）、6（110）、7（111），按位与结果为 100（4）；

• 当 left = 0，right = 0 时，结果就是 0；

• 当 left = 1，right = 3 时，数字为 1（01）、2（10）、3（11），按位与结果为 0。

二、痛点分析：为什么不能暴力求解？

看到这道题，很多人的第一反应是「暴力遍历」：从 left 遍历到 right，依次对每个数字做按位与操作。但这种方法存在一个致命问题------效率极低。

如果 left 和 right 的范围很大（比如 left = 1，right = 10^9），遍历一次需要执行 10^9 次操作，会直接超时。所以，我们必须找到一种更高效的方法，跳出「遍历所有数字」的思维定式。

三、核心原理：按位与的特性 + 公共前缀

要解决这道题，首先要掌握「按位与」的核心特性：只要有一个数字的某一位是 0，那么所有数字在这一位上的按位与结果就是 0。

结合区间 [left, right] 的特点：区间内的数字是连续的，从 left 递增到 right，二进制表示中，高位的公共前缀是不变的，而低位会从 0 变到 1，再从 1 变到 0。

举个具体的例子，left = 5（101），right = 7（111）：

• 5 的二进制：1 0 1

• 6 的二进制：1 1 0

• 7 的二进制：1 1 1

观察这三个数字的二进制，高位只有最左边的「1」是所有数字共有的（公共前缀），后面的两位（低位）在区间内出现了 0，所以按位与结果中，公共前缀保留，低位全部变为 0，最终结果就是 100（4）。

由此可得出解题核心：区间内所有数字的按位与结果，等于 left 和 right 二进制表示的「公共前缀」，后面补 0。

四、代码解析：如何找到公共前缀？

知道了核心原理，接下来就是如何用代码找到 left 和 right 的公共前缀。这里用到了一个巧妙的操作------右移，具体逻辑如下：

function rangeBitwiseAnd(left: number, right: number): number {
  let shift = 0;
  // 找到公共前缀：不断右移，直到left和right相等
  while (left < right) {
    left >>= 1;  // left右移1位，相当于去掉最右边的一位
    right >>= 1; // right右移1位，去掉最右边的一位
    ++shift;      // 记录右移的次数（也就是需要补0的位数）
  }
  // 把公共前缀左移shift位，补全后面的0
  return left << shift;
};

代码逐行拆解：

1. 定义 shift 变量，用于记录右移的次数（也就是公共前缀后面需要补 0 的位数）；

2. 循环条件：当 left < right 时，说明两者的二进制还没有完全重合（公共前缀还没找到）；

3. left >>= 1 和 right >>= 1：将 left 和 right 同时右移 1 位，相当于去掉各自最右边的一位，逐步向公共前缀靠近；

4. 循环结束后，left 和 right 已经相等，此时的值就是两者的公共前缀；

5. left << shift：将公共前缀左移 shift 位，补全后面的 0，得到最终的按位与结果。

五、实例验证：代入代码看效果

还是以 left = 5（101），right = 7（111）为例：

1. 初始：left = 5（101），right = 7（111），shift = 0；left < right，进入循环；

2. 第一次循环：left = 5 >> 1 = 2（10），right = 7 >> 1 = 3（11），shift = 1；left < right，继续循环；

3. 第二次循环：left = 2 >> 1 = 1（1），right = 3 >> 1 = 1（1），shift = 2；left = right，循环结束；

4. 返回 left << shift = 1 << 2 = 4（100），与预期结果一致。

六、边界情况补充

这道题的边界情况需要特别注意，避免踩坑：

• 当 left = right 时：区间内只有一个数字，结果就是 left（或 right），此时循环不执行，shift = 0，返回 left << 0 = left，符合预期；

• 当 left = 0 时：无论 right 是多少，区间内包含 0，按位与结果一定是 0（因为 0 与任何数按位与都是 0），代码也能正确处理（比如 left=0，right=5，循环后 left 和 right 都会变成 0，shift 为 3，返回 0 << 3 = 0）；

• 当区间跨过大数（如 left=10^9，right=109+5）：代码只需执行几次右移就会找到公共前缀，效率极高，不会超时。

七、总结：解题思维提炼

这道题的关键，是跳出「暴力遍历」的思维，抓住「按位与的特性」和「区间数字的二进制共性」------连续数字的二进制，只有高位公共前缀是不变的，低位一定会出现 0，导致按位与结果为 0。

通过「右移找公共前缀，左移补 0」的操作，我们将时间复杂度从 O(n) 优化到了 O(log n)（n 为 right - left 的差值），这也是位运算题目最核心的解题思路：用位操作替代遍历，利用二进制特性简化计算。