大数乘法，超级简单模板

在算法竞赛中，高精度（大整数）乘法最容易出错的地方是进位处理 和前导零去除。

这里为你提供一个最适合在比赛中快速默写、不易出错的 C++ 模板。它的核心技巧是模拟竖式乘法并利用下标规律 ：num1 的第 i 位和 num2 的第 j 位相乘，其乘积一定会累加到结果数组的第 i + j + 1 位，而进位会落在 i + j 位。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>

using namespace std;

string multiply(string num1, string num2) {
    // 1. 特判 0 的情况，防止最后输出空字符串或多个 0
    if (num1 == "0" || num2 == "0") return "0";
    
    int n = num1.size(), m = num2.size();
    // 2. 两个数相乘，最大长度不会超过它们的长度之和
    vector<int> res(n + m, 0);

    // 3. 从右向左遍历（从低位到高位）
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = m - 1; j >= 0; j--) {
            // 当前乘积 + 原有进位
            int sum = (num1[i] - '0') * (num2[j] - '0') + res[i + j + 1];
            
            // 更新当前位
            res[i + j + 1] = sum % 10;
            // 更新进位（注意这里是 +=，因为进位可能累积）
            res[i + j] += sum / 10;
        }
    }

    // 4. 转回字符串并去除前导零
    string ans = "";
    for (int p : res) {
        // 只要 ans 不是空的，或者当前数字不是 0，就加进去
        if (!(ans.empty() && p == 0)) {
            ans.push_back(p + '0');
        }
    }
    
    return ans;
}