LeetCode 172. 阶乘后的零：从暴力到最优，拆解解题核心

刷LeetCode时，遇到「阶乘后的零」这道题，初看简单，实则藏着优化的小技巧。今天就从题目本身出发，一步步拆解两种解题思路，对比暴力解法和最优解法的差异，帮大家吃透这道经典题目，也掌握一类数学问题的解题逻辑。

一、题目解读：读懂「尾随零」的本质

题目很简单：给定一个整数n，返回n!（n的阶乘）结果中尾随零的数量。提示里明确了n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。

这里有个关键误区：很多人会以为尾随零的数量是由阶乘中10的个数决定的------确实没错，但10是2×5的乘积，而阶乘中2的数量永远比5多（比如每两个数就有一个是2的倍数，每五个数才有一个是5的倍数）。所以，尾随零的数量，本质上是阶乘中质因数5的个数。

搞懂这一点，解题就成功了一半。接下来我们看两种解法，从基础到进阶。

二、解法一：暴力枚举，逐个统计5的个数

最直观的思路：遍历从1到n的每一个数，统计每个数中包含的质因数5的个数，最后累加总和，就是尾随零的数量。

对应代码如下（TypeScript）：

typescript 复制代码

function trailingZeroes_1(n: number): number {
  let ans = 0;
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    let temp = 0;
    let j = i;
    while (j % 5 === 0) {
      temp++;
      j = Math.floor(j / 5);
    }
    ans += temp;
  }
  return ans;
};

代码拆解

外层for循环：遍历1到n的每一个数i，逐个分析每个数包含的5的个数。
内层while循环：对于当前数i（用j临时存储，避免修改i），判断是否能被5整除；如果能，就计数temp加1，同时将j除以5（继续判断是否有多个5，比如25=5×5，需要统计2个5）。
ans累加：将每个数的temp（5的个数）累加到结果中，最终返回ans。

优缺点分析

优点：逻辑简单，容易理解，适合新手入门，能快速想到这种思路。

缺点：效率较低。当n很大时（比如n=10^5），for循环要执行n次，每个数又可能执行多次while循环，时间复杂度是O(n×log₅n)，会出现超时情况。

三、解法二：数学优化，直接计算5的总个数

既然暴力解法效率不高，我们就需要优化思路。结合前面的核心结论------尾随零的数量=质因数5的个数，我们可以用数学公式直接计算，无需逐个遍历。

核心逻辑：

n/5：计算1到n中，至少包含1个5的数的个数（比如n=25，有5、10、15、20、25，共5个，25/5=5）。
n/25：计算1到n中，至少包含2个5的数的个数（比如25，包含2个5，25/25=1；50包含2个5，以此类推）------这些数在n/5中已经被统计过1次，这里需要再额外统计1次。
n/125：计算1到n中，至少包含3个5的数的个数（比如125，包含3个5），同样需要额外统计1次。
以此类推，直到n除以5的某次幂结果为0，停止计算，累加所有结果，就是质因数5的总个数。

对应代码如下（TypeScript）：

typescript 复制代码

/**
 * n/5 = 有多少个数 至少含 1 个 5
 * n/25 = 有多少个数 额外多 1 个 5（25=5×5）
 * n/125 = 有多少个数 再额外多 1 个 5（125=5×5×5）
 * 以此类推......
 * @param n 
 * @returns 
 */
function trailingZeroes_2(n: number): number {
  let ans = 0;
  while (n !== 0) {
    n = Math.floor(n / 5);
    ans += n;
  }
  return ans;
};

代码拆解

while循环：每次将n除以5（向下取整），得到当前层级（5^1、52、5^3...）中包含5的数的个数。
ans累加：将每次除以5的结果累加到ans中，直到n变为0（此时再除以5结果为0，无需继续统计）。

举个例子：n=25

第一次循环：n=25→Math.floor(25/5)=5，ans=5（统计5、10、15、20、25各1个5）。
第二次循环：n=5→Math.floor(5/5)=1，ans=5+1=6（统计25额外的1个5）。
第三次循环：n=1→Math.floor(1/5)=0，循环结束，返回6。

验证：25!的尾随零数量确实是6，和代码计算结果一致。

优缺点分析

优点：效率极高，时间复杂度是O(log₅n)，即使n=10^{9，循环也只需要执行不到10次（5}10=9765625，5^13=1220703125），完全不会超时。

缺点：逻辑需要稍微转个弯，需要理解「多次除以5」的本质，新手可能需要多琢磨一下。

四、两种解法对比&总结

解法	时间复杂度	空间复杂度	核心思路	适用场景
暴力枚举（trailingZeroes_1）	O(n×log₅n)	O(1)	逐个统计每个数的质因数5个数	n较小，新手理解思路
数学优化（trailingZeroes_2）	O(log₅n)	O(1)	累加n/5、n/25、n/125...的结果	n较大，追求高效解题

五、解题关键&拓展思考

解题关键

抓住核心：尾随零的数量由质因数5的个数决定，而非10的个数（因为2的数量足够多）。
优化思路：避免逐个遍历，利用数学规律，直接计算不同层级（5^1、52...）中5的个数，大幅提升效率。

拓展思考

这道题的本质是「质因数分解」的应用，类似的题目还有「统计阶乘中某个质因数的个数」，解题思路可以复用：统计n/k + n/k² + n/k³ + ... 直到结果为0。

比如，如果题目问n!中质因数2的个数，思路完全一样，只是把5换成2即可------但注意，此时2的数量会比5多，所以如果是求尾随零，还是要统计5的个数哦。

六、总结

LeetCode 172这道题，看似简单，却能很好地考察我们「从暴力到优化」的解题思维。新手可以先写暴力解法，理解核心逻辑；再琢磨数学优化思路，掌握高效解题的技巧。