实分析入门
你有没有好奇过这样一些问题：如何证明1 + 1 = 2？如何证明两个无理数的商仍然是无理数？
如果有的话，以下的实分析内容应该可以为你提供答案
Peano Axioms 皮亚诺公理
如何构造出自然数
首先，我们从人类最早认识数字的过程一样，实分析也不是直接就从实数开始的，首先我们要从最"自然"的数字：自然数开始，皮亚诺公理就给出了一套我们定义自然数的方法
首先我们想定义出 "自然数" 这个东西就是想构造出这样一个集合：
{0,1,2,3,4,5,6,⋯ } \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \} {0,1,2,3,4,5,6,⋯}
显然这样的集合有一个很容易看懂的性质，那就是每个元素后面的那个元素都比自身"大1"（注意，这里我们还没有定义出什么是自然数，自然我们也不知道"1"是什么，这么表述只是为了方便理解，后续在没定义出1之前所说的1也都是类似的意思）。所以我们有了两条公理：
- 记录 n++n++n++ 为自然数 nnn 的后继（也就是比 nnn 大 111 的那个数字），如果 nnn 是自然数，那么 n++n++n++ 也是自然数
但是只有这个东西显然是不够的，因为它只给了我们一个"顺序关系"，我们现在知道所有自然数都有后继，并且他们的后继都是自然数。但是如果出现这样的一个集合，满足这样的关系：
a,b,c,d,ea++=b b++=c c++=d d++=b {a, b, c, d, e} \\ a++ = b \;\;\;\; b++ = c\;\;\;\; c++ = d \;\;\;\; d++ = b a,b,c,d,ea++=bb++=cc++=dd++=b
这样的集合也是满足上述的公理的，但是这个集合与我们心中已经有的那个"自然数集合"显然相差甚远，所以我们还需要其他的公理来约束这个集合不能变成这样。我们能轻易发现问题出在 bbb 这里，在这个集合里面，bbb 既是 aaa 的后继，又是 ddd 的后继，所以整个集合出现了"循环"，我们显然不希望发生这样的事情，所以我们规定：
- 如果 n,mn, mn,m 都是自然数，并且 n≠mn \neq mn=m，那么 n++≠m++n++ \neq m++n++=m++
这个公理很好的阻止了以上的情况，但是仔细想想就能发现新的问题，想象这样一个集合：
{0,1,2,3,4,⋯ ,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,⋯ } \{0, 1, 2, 3, 4,\cdots , 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, \cdots\} {0,1,2,3,4,⋯,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,⋯}
我们可以发现，这里我们能把集合拆成两列，其中的一列从 000 开头，然后一路取后继得到 0++=10++ = 10++=1，1++=21++ = 21++=2，2++=32++ = 32++=3... 另一列从 0.50.50.5 开始，一路取后继得到 0.5++=1.50.5++ = 1.50.5++=1.5，1.5++=2.51.5++=2.51.5++=2.5，2.5++=3.52.5++ = 3.52.5++=3.5... 这显然是我们不想看到的，因为在我们心目中，自然数的"开头"是且只能是数字 0。（注意注意，这里我们并不知道x.5x.5x.5这个记号到底代表了什么，因为我们连自然数都没定义出来，那就更不知道小数为何物了，这里这样写只是方便读者理解）
所以自然而然的，我们就要规定这个唯一的"开头"，于是我们得到第三条公理：
- 000 是一个自然数
这样一来，不是自然数的 0.50.50.5 也就不能作为自然数集合的开头而一直取后继得到后面的一堆不是自然数的数了
这样就完整了吗？不不不，我们仍然能找到一些不满足我们心中自然数集的样子的集合满足我们已有的三条规则，比如下面这个集合：
{0,a,b,c}0++=a, a++=b, b++=c, c++=0 \{ 0, a, b, c \} \\ 0++ = a, \;\;\;\; a++ = b, \;\;\;\; b++ = c, \;\;\;\; c++ = 0 {0,a,b,c}0++=a,a++=b,b++=c,c++=0
这个集合完美满足已有的三条公理，问题就处在这个开头 "0" 上，因为它是开头，自然就不可能称为任何一个自然数的后继，所以公理3（如果 n,mn, mn,m 都是自然数，并且 n≠mn \neq mn=m，那么 n++≠m++n++ \neq m++n++=m++），也就是那个限制出现环的公理在 000 处就失效了，于是我们就需要第四条公理：
- 000 不是任何一个自然数的后继
这样一来，我们就用五条公理构造出了唯一的，满足我们心中对自然数定义的集合：
- 记录 n++n++n++ 为自然数 nnn 的后继（也就是比 nnn 大 111 的那个数字），如果 nnn 是自然数，那么 n++n++n++ 也是自然数
- 如果 n,mn, mn,m 都是自然数，并且 n≠mn \neq mn=m，那么 n++≠m++n++ \neq m++n++=m++
- 000 是一个自然数
- 000 不是任何一个自然数的后继
我们记录记号 111 表示 000 的后继，也就是 0++=10++ = 10++=1；然后记录记号 222 表示 111 的后继，也就是 1++=21++ = 21++=2，...
以此类推下去，我们就得到了自然数集合：
{0,1,2,3,4,5,6,⋯ } \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \} {0,1,2,3,4,5,6,⋯}
现在我们就能用以上的皮亚诺公理来证明一些很"显然"的东西了，比如：证明 2≠02 \neq 02=0：
由公理 3 得，000 是自然数，又由公理 1 得 1=0++1 = 0++1=0++ 是自然数，又因为 2=1++2 = 1++2=1++ 并且有公理 4，n++≠0n++ \neq 0n++=0，所以 2=1++≠02 = 1++ \neq 02=1++=0，证毕（（（
数学归纳法
在进行下面的内容之前，我们还要来说说关于数学归纳法的事情。
作为皮亚诺公理中的最后一条，它的表述是这样的：
- 对于一个性质 P(n)P(n)P(n)，如果 P(0)P(0)P(0) 成立，并且 P(n)P(n)P(n) 成立能够推理出 P(n+1)P(n + 1)P(n+1) 成立，那么就称性质 P（n）P（n）P（n） 对于所有自然数都成立
你会发现这个公理对我们构造自然数没有任何帮助，毕竟只有前四条公理就足够让我们把自然数集合构造出来了。但是这条公理也是我们所必须的，因为在后面引入加法运算、乘法运算等之后会引入一系列对于全体自然数都成立的性质，而对于证明这些性质的证明来说，数学归纳法就是必要的了。
综上，完整的皮亚诺公理是这样的：
- 记录 n++n++n++ 为自然数 nnn 的后继（也就是比 nnn 大 111 的那个数字），如果 nnn 是自然数，那么 n++n++n++ 也是自然数
- 如果 n,mn, mn,m 都是自然数，并且 n≠mn \neq mn=m，那么 n++≠m++n++ \neq m++n++=m++
- 000 是一个自然数
- 000 不是任何一个自然数的后继
- 对于一个性质 P(n)P(n)P(n)，如果 P(0)P(0)P(0) 成立，并且 P(n)P(n)P(n) 成立能够推理出 P(n++)P(n++)P(n++) 成立，那么就称性质 P（n）P（n）P（n） 对于所有自然数都成立**（数学归纳法）**
关于加法
加法的构造
现在我们有了自然数集合，但是只有一个集合对我们来说肯定是不满足的，我们平时做的加减乘除等等概念我们现在都还没有。只有数字没有运算的话相当于我们无法对数字进行任何操作，这显然是不能接受的，所以我们接下来就要开始对四则运算的构造，当然，我们就从小学一年级最先接触到的加法开始构造：
定义：
- 0+m=m0 + m = m0+m=m
- (n++)+m=(n+m)++(n++) + m = (n + m)++(n++)+m=(n+m)++
现在有了这两条定义，我们就进行一些最基础的运算了，比如我们来计算以下 1+11 + 11+1 吧：
首先 1+1=(0++)+11 + 1 = (0++) + 11+1=(0++)+1，然后根据定义 2 可以得到：(0++)+1=(0+1)++(0++) + 1 = (0 + 1)++(0++)+1=(0+1)++，再根据定义 1 得到 (0+1)++=1++=2(0 + 1)++ = 1++ = 2(0+1)++=1++=2
恭喜你！！！完成了 1+1=21 + 1 = 21+1=2 的证明！！！（笑）
其实有了这两个定义之后，我们就能对任意的两个自然数进行加法操作了，除了 1+11 + 11+1，我们还可以随便再算一个，就 3+53 + 53+5 吧：
3+5=(2++)+5=(2+5)++=((1++)+5)++=((1+5)++)++=(((0++)+5)++)++=(((0+5)++)++)++=((5++)++)++=(6++)++=7++=8 \begin{aligned} 3 + 5 = & (2++) + 5 \\ = & (2 + 5) ++ \\ = & ((1++)+5)++ \\ = & ((1+5)++)++ \\ = & (((0++)+5)++)++ \\ = & (((0+5)++)++)++ \\ = & ((5++)++)++ \\ = & (6++)++ \\ = & 7++ \\ = & 8 \end{aligned} 3+5==========(2++)+5(2+5)++((1++)+5)++((1+5)++)++(((0++)+5)++)++(((0+5)++)++)++((5++)++)++(6++)++7++8
加法交换律
虽然这里我们已经可以进行任意两个数字的加法运算了，但是我们肯定是不太满足于止步于此的。因为我们熟知的加法交换律我们到现在都还没有证明，也就是我们现在还不知道 n+m=m+nn + m = m + nn+m=m+n，我们甚至连 0+m=m+00 + m = m + 00+m=m+0 都不知道
所以我们接下来就要进行对加法交换律的证明，也就是证明 n+m=m+nn + m = m + nn+m=m+n
这里就要用到我们之前提到的皮亚诺第五公理：数学归纳法了，我们对数学归纳法的运用基本上都是分为3步：
- 证明 P(0)P(0)P(0)
- 假设 P(n)P(n)P(n) 成立
- 证明 P(n++)P(n++)P(n++) 成立
套用到这里的证明也就是这样（对 nnn 使用数学归纳法）：
- 证明 0+m=m+00 + m = m + 00+m=m+0
- 假设 n+m=m+nn + m = m + nn+m=m+n
- 证明 (n++)+m=m+(n++)(n++) + m = m + (n++)(n++)+m=m+(n++)
然后我们一看，第一步就不是很好证明，我们现在只能根据定义 1 知道第一步的左式 =m= m=m，但是我们不知道右式等于多少，因为我们没有对于 m+0m + 0m+0 的定义，所以我们考虑把这一步先放在一边，当作已经证明过的引理1.1（ Lemma1.1），接着往下考虑：
我们来看第三步的证明，第三步左式可以根据定义进行一个化简也就是
(n++)+m=(n+m)++ \begin{aligned} (n++) + m = & (n + m)++ \\ \end{aligned} (n++)+m=(n+m)++
然后根据第二步的假设 n+m=m+nn + m = m + nn+m=m+n，所以：
(n++)+m=(n+m)++=(m+n)++ (n++) + m = (n + m)++ = (m + n)++ (n++)+m=(n+m)++=(m+n)++
然后我们再看看第三步的右式，我们又遇到了证明第一步的时候的那个问题，就是我们没有对于 m+(n++)m + (n++)m+(n++) 这个式子的定义，但是我们知道这里只要证明 m+(n++)=(m+n)++m + (n++) = (m + n)++m+(n++)=(m+n)++ 的话我们整个交换律的证明就完成了，所以我们把这个式子作为引理1.2（Lemma1.2）
那么我们现在的工作就是来证明这两个引理的正确性了：
首先是 Lemma 1.1：0+m=m+00 + m = m + 00+m=m+0，依然是数学归纳法（对 nnn 使用数学归纳法）：
- 证明 0+0=0+00 + 0 = 0 + 00+0=0+0
- 假设 0+n=n+00 + n = n + 00+n=n+0
- 证明 0+(n++)=(n++)+00 + (n++) = (n++) + 00+(n++)=(n++)+0
第一步显然成立，我们只需要看第三步了：
第三步左式，根据定义 1 得到：左式 =0+(n++)=n++= 0 + (n++) = n++=0+(n++)=n++
第三步右式，根据定义 2 得到：右式 =(n+0)++= (n + 0)++=(n+0)++，又根据第二步的假设得到：(n+0)++=(0+n)++(n + 0)++ = (0 + n)++(n+0)++=(0+n)++，又因为定义 1 得到 (0+n)++=n++(0 + n)++ = n++(0+n)++=n++
所以左式 === 右式 =n++= n++=n++，证毕。
然后是 Lemma1.2：m+(n++)=(m+n)++m + (n++) = (m + n)++m+(n++)=(m+n)++，对 mmm 使用数学归纳法：
- 证明 0+(n++)=(0+n)++0 + (n++) = (0 + n)++0+(n++)=(0+n)++
- 假设 m+(n++)=(m+n)++m+(n++) = (m + n)++m+(n++)=(m+n)++
- 证明 (m++)+(n++)=((m++)+n)++(m++) + (n++) = ((m++)+ n)++(m++)+(n++)=((m++)+n)++
由定义 1 （0+m=m0 + m = m0+m=m）可以得到第一步左式 =n++= n++=n++，同理，第一步右式 =n++= n++=n++，所以第一步左式 === 第一步的右式，证毕
由定义 2 （(n++)+m=(n+m)++(n++) + m = (n + m)++(n++)+m=(n+m)++）第三步左式 =(m+(n++))++= (m + (n++))++=(m+(n++))++，又由第二步假设得 (m+(n++))++=((m+n)++)++(m + (n++))++ = ((m + n)++)++(m+(n++))++=((m+n)++)++
由定义 2 （(n++)+m=(n+m)++(n++) + m = (n + m)++(n++)+m=(n+m)++）第三步右式 =((m+n)++)++= ((m + n)++)++=((m+n)++)++
所以左式 === 右式 =((m+n)++)++= ((m + n)++)++=((m+n)++)++，证毕。
加法结合律
有了交换律，现在就该结合律了：
∀a,b,c∈N,(a+b)+c=a+(b+c) \forall a, b, c \in \mathbb{N},(a + b) + c = a + (b + c) ∀a,b,c∈N,(a+b)+c=a+(b+c)
依旧数学归纳法（对 ccc 使用数学归纳法）：
- 证明 (a+b)+0=a+(b+0)(a + b) + 0 = a + (b + 0)(a+b)+0=a+(b+0)
- 假设 (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c)
- 证明 (a+b)+(c++)=a+(b+(c++))(a + b) + (c++) = a + (b + (c++))(a+b)+(c++)=a+(b+(c++))
第一步左式，由 Lemma 1.1 得第一步左式 =(a+b)+0=0+(a+b)=a+b= (a + b) + 0 = 0 + (a + b) = a + b=(a+b)+0=0+(a+b)=a+b
第一步右式，由 Lemma 1.1 得第一步右式 =a+(b+0)=a+(0+b)=a+b= a + (b + 0) = a + (0 + b) = a + b=a+(b+0)=a+(0+b)=a+b
所以第一步左式 === 第一步右式 =a+b= a + b=a+b，证毕
第三步左式，由 Lemma 1.2 得第三步左式 =(a+b)+(c++)=(c++)+(a+b)=(c+(a+b))++= (a + b) + (c++) = (c++) + (a + b) = (c + (a + b))++=(a+b)+(c++)=(c++)+(a+b)=(c+(a+b))++，又由加法交换律得 (c+(a+b))++=((a+b)+c)++(c + (a + b))++ = ((a + b) + c)++(c+(a+b))++=((a+b)+c)++
第三步右式，由 Lemma 1.2 得第三步右式 =a+(b+(c++))=a+((c++)+b)=a+((c+b)++)=((c+b)++)+a=((c+b)+a)++= a + (b + (c++)) = a + ((c++) + b) = a + ((c + b)++) = ((c + b)++) + a = ((c + b) + a)++=a+(b+(c++))=a+((c++)+b)=a+((c+b)++)=((c+b)++)+a=((c+b)+a)++，又由加法交换律得到 ((c+b)+a)++=(a+(b+c))++((c + b) + a)++ = (a + (b + c))++((c+b)+a)++=(a+(b+c))++，又因为第二步的假设，(a+(b+c))++=((a+b)+c)++(a + (b + c))++ = ((a + b) + c)++(a+(b+c))++=((a+b)+c)++
所以第三步左式 === 第三步右式 =(a+(b+c))++= (a + (b + c))++=(a+(b+c))++，证毕
加法消去律
消去律我们可能就不是很熟悉了，因为我们小学没学过这个（（（ 但是这个消去律也是很好理解的：
Let. a,b,c∈N，s.t. a+c=b+c，then a=b \text{Let}. \;\;a, b, c \in \mathbb{N}， \text{s.t.} \; a + c = b + c，\text{then} \;\; a = b Let.a,b,c∈N，s.t.a+c=b+c，thena=b
为什么我们小学没有交这个所谓消去律呢，因为我们在上小学的时候是有减法的，而我们这里还没有定义减法是什么。有了减法之后这个消去律就很显然了，而在没有减法的现在，我们依然需要用到数学归纳法来证明（对 ccc 使用数学归纳法）：
- 对于 a+0=b+0a + 0 = b + 0a+0=b+0，证明 a=ba = ba=b
- 假设 a+c=b+ca + c = b + ca+c=b+c 能推出 a=ba = ba=b
- 对于 a+(c++)=b+(c++)a + (c++) = b + (c++)a+(c++)=b+(c++)，证明 a=ba = ba=b
正数和自然数的顺序
除了加法以外，我们在小学一年级里学会的就是给两个数字排序了，比如 2<32 < 32<3，100>99100>99100>99 之类
我们定义一个自然数 nnn，我们称 nnn 为正数当且仅当 n≠0n \neq 0n=0，我们记正自然数集合为 N+\mathbb{N}^+N+
定义 n,m∈Nn, m \in \mathbb{N}n,m∈N，我们称 n≥mn \geq mn≥m 当且仅当 ∃\exist∃ 一些 a∈Na \in \mathbb{N}a∈N s.t. n=m+a\text{s.t.} \;\; n = m + as.t.n=m+a，我们称 n>mn > mn>m 当 n≥mn \geq mn≥m 且 n≠mn \neq mn=m
然后我们就能推导出以下这一系列的定理：
- 如果 n∈N+，m∈Nn \in \mathbb{N}^+，m \in \mathbb{N}n∈N+，m∈N 则 n+m∈N+n + m \in \mathbb{N^+}n+m∈N+
- 如果 n,m∈Nn,m \in \mathbb{N}n,m∈N 且 n+m=0n + m = 0n+m=0，则 n=m=0n = m = 0n=m=0
- 如果 n∈N+n \in \mathbb{N^+}n∈N+，则 ∃∣m∈N s.t. m++=n\exists| m \in \mathbb{N}\;\; \text{s.t.}\;\; m++ = n∃∣m∈Ns.t.m++=n
- 自身性：a≥aa \geq aa≥a
- 传递性：如果 a≥ba \geq ba≥b 且 b≥cb \geq cb≥c 那么 a≥ca \geq ca≥c
- 反身性：如果 a≥ba \geq ba≥b 且 b≥ab \geq ab≥a 那么 a=ba = ba=b
- a≥ba \geq ba≥b 当且仅当 a+c≥b+ca + c \geq b + ca+c≥b+c
- a<ba < ba<b 当且仅当 a++≤ba++ \leq ba++≤b
- a<ba < ba<b 当且仅当 b=a+db = a + db=a+d， for some d∈N+d \in \mathbb{N^+}d∈N+
关于乘法
为什么这里没有"按顺序"先讲减法而是直接跳到三年级来构造乘法呢？因为如果我们先引入减法的话，我们就会遇到一件很痛苦的事情，那就是两个自然数相减它可能就不是一个自然数了。我们把这种事情叫做减法在自然数域上不封闭。
所以，为了再推迟一点引入整数概念，我们先来构造乘法qwq
依旧是两条定义，对于 m∈Nm \in \mathbb{N}m∈N：
- 0×m=00 \times m = 00×m=0
- (n++)×m=(n×m)+m(n++) \times m = (n \times m) + m(n++)×m=(n×m)+m
依旧是根据这两个定义，我们可以像加法那样，推出以下6条定理（a,b,c,∈N,d∈N+a, b, c, \in \mathbb{N}, d \in \mathbb{N}^+a,b,c,∈N,d∈N+）：
- 交换律：a×b=b×aa \times b = b \times aa×b=b×a
- non zero divisor：a×b=0a \times b = 0a×b=0 if a=0a = 0a=0 or b=0b = 0b=0
- 分配律：a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + aca(b+c)=ab+ac
- 结合律：(ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)(ab)c=a(bc)
- 保序性：如果 a<ba < ba<b，则 ac<bcac < bcac<bc
- 消去律：如果 ad=bdad = bdad=bd，则 a=ba = ba=b