P1910 L 国的战斗之间谍

记录101

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int info[1010],wo[1010],mon[1010],dp[1010][1010]; 
int main(){//01背包+双重消耗 
    int n,m,x;
    cin>>n>>m>>x;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>info[i]>>wo[i]>>mon[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){//二维背包 
    	for(int j=m;j>=wo[i];j--){
    		for(int k=x;k>=mon[i];k--){
    			dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-wo[i]][k-mon[i]]+info[i]);
			}
		}
	}
	cout<<dp[m][x];
    return 0;
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1910

突破口

你现在有 N 个人选，每个人都有这样一些数据：A（能得到多少资料）、B（伪装能力有多差）、C（要多少工资）。已知敌人的探查间谍能力为 M（即去的所有人 B 的和要小于等于 M）和手头有 X 元钱，请问能拿到多少资料？

思路

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

有 N 个间谍候选人
每人有三个属性：
- A_i：能获取的资料量（价值）
- B_i：伪装能力差的程度（越小越好）→ 敌人侦察值限制总和 ≤ M
- C_i：工资要求 → 总花费 ≤ X
给定两个资源上限：
- 总伪装差值 ≤ M（即 ∑B_i ≤ M）
- 总工资 ≤ X（即 ∑C_i ≤ X）
目标：在满足上述两个约束的前提下，最大化总资料量 ∑A_i

✅ 这是一个典型的 二维 0-1 背包问题：

每个物品（间谍）只能选或不选

有两个"重量"维度：B（伪装差）和 C（工资）

"价值"是 A（资料量）

📌 举例（样例）

输入：

复制代码

3 10 12
10 1 11   → 资料10，伪装差1，工资11
1 9 1     → 资料1，伪装差9，工资1
7 10 12   → 资料7，伪装差10，工资12

约束：总 B ≤ 10，总 C ≤ 12

可行方案：

选第1人：B=1≤10，C=11≤12 → 资料=10
选第2人：B=9≤10，C=1≤12 → 资料=1
选1+2：B=1+9=10≤10，C=11+1=12≤12 → 资料=10+1=11 ✅
选第3人：C=12≤12，但 B=10≤10 → 资料=7 < 11

→ 最优答案：11

🧠 二、解题思路：二维 0-1 背包 DP

状态定义

dp[j][k] = 在 总伪装差 ≤ j 且 总工资 ≤ k 的条件下，能获得的最大资料量

状态转移（0-1 背包）

对每个间谍 i（资料 info[i]，伪装差 wo[i]，工资 mon[i]）：

倒序遍历 j 从 M 到 wo[i]
倒序遍历 k 从 X 到 mon[i]

更新：

cpp 复制代码

dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - wo[i]][k - mon[i]] + info[i])

⚠️ 必须倒序！否则会重复选择同一间谍（变成完全背包）

初始化

dp[0..M][0..X] = 0（全局变量自动初始化为 0）
表示：不选任何人时，资料量为 0

答案

dp[M][X]：在总伪装差 ≤ M、总工资 ≤ X 下的最大资料量

💡 因为 dp[j][k] 是"不超过 j 和 k"的最大值，所以 dp[M][X] 就是全局最优

代码分析

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int info[1010], wo[1010], mon[1010]; // 存储每个间谍的 A, B, C
int dp[1010][1010];                  // dp[j][k]：伪装差≤j、工资≤k 时的最大资料量

数组大小 1010：因为 M, X ≤ 1000，开 1010 安全（避免越界）
info[i] = A_i（资料）
wo[i] = B_i（伪装差，"weight of observation"）
mon[i] = C_i（工资，"money"）

cpp 复制代码

int main(){
    int n, m, x;
    cin >> n >> m >> x; // n: 人数；m: 伪装差上限；x: 工资上限

cpp 复制代码

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> info[i] >> wo[i] >> mon[i];

读入每个间谍的三项数据
从 i=1 开始存储，方便后续循环

cpp 复制代码

    for(int i = 1; i <= n; i++){          // 枚举每个间谍（物品）
        for(int j = m; j >= wo[i]; j--){  // 倒序枚举伪装差上限（第一维容量）
            for(int k = x; k >= mon[i]; k--){ // 倒序枚举工资上限（第二维容量）
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - wo[i]][k - mon[i]] + info[i]);
            }
        }
    }

🔄 三层循环详解：

外层 i ：处理第 i 个间谍
中层 j（倒序） ：
- 从 m 到 wo[i]，确保 j - wo[i] ≥ 0
- 倒序防止重复选择（0-1 背包标准技巧）
内层 k（倒序） ：
- 从 x 到 mon[i]，确保 k - mon[i] ≥ 0
- 同样倒序，保证状态来自"未选当前间谍"的情况

✅ 转移含义：

不选间谍 i：dp[j][k] 保持不变

选间谍 i：dp[j - wo[i]][k - mon[i]] + info[i]

取两者最大值

cpp 复制代码

    cout << dp[m][x];
    return 0;
}

直接输出 dp[m][x]：在总伪装差 ≤ m、总工资 ≤ x 下的最大资料量

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
为什么倒序？	防止同一个间谍被多次选择（0-1 背包核心）
数组大小 1010？	`M, X ≤ 1000`，开 `1010` 避免越界（`dp[1000][1000]` 需要下标到 1000）
初始值为 0？	全局变量自动初始化为 0，正确表示"无间谍可选"
答案是 `dp[m][x]`？	是的，因为 `dp[j][k]` 表示"不超过 j 和 k"的最大值，单调不减

总结：问题与解法对应

题目要求	DP 设计
每个间谍只能选一次	0-1 背包
两个资源限制（伪装差、工资）	二维背包（`dp[j][k]`）
最大化资料总量	价值 = A_i，求最大总价值
输出最大资料量	`dp[M][X]`