堆排序：高效构建大顶堆实战

一、先解答上次的思考题

对树：10,7,15,3,9,12,18

• 删除 15 后中序：3 7 9 10 12 18
• 再删除 7 后中序：3 9 10 12 18

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二、今天学习目标

1. 什么是堆、大顶堆、小顶堆
2. 堆的结构：用数组存完全二叉树
3. 核心操作：上浮、下沉
4. 堆实现优先队列（完整代码）

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三、什么是堆（Heap）？

堆是一棵满足堆序性质的完全二叉树 ，通常用数组存储。

两种常用堆：

• 大顶堆：父节点 ≥ 左右孩子，堆顶是最大值
• 小顶堆：父节点 ≤ 左右孩子，堆顶是最小值

特点：

• 结构是完全二叉树
• 可以用数组高效存储
• 取最值极快：O (1)
• 插入 / 删除：O (log n)

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四、数组存储完全二叉树（下标规律）

对于下标 i（从 0 开始）：

• 左孩子：2*i + 1
• 右孩子：2*i + 2
• 父节点：(i - 1) / 2

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五、核心操作：下沉（向下调整）

以大顶堆为例：如果某个节点比孩子小，就和较大的孩子交换，一直往下沉，直到满足堆性质。

// 大顶堆下沉调整
void siftDown(int arr[], int n, int i) {
    while (1) {
        int maxPos = i;
        int left = 2 * i + 1;
        int right = 2 * i + 2;

        if (left < n && arr[left] > arr[maxPos]) maxPos = left;
        if (right < n && arr[right] > arr[maxPos]) maxPos = right;

        if (maxPos == i) break;

        // 交换
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[maxPos];
        arr[maxPos] = temp;

        i = maxPos;
    }
}

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六、建堆 + 堆实现优先队列（取堆顶）

完整可运行代码

#include <stdio.h>

// 下沉调整（大顶堆）
void siftDown(int arr[], int n, int i) {
    while (1) {
        int maxPos = i;
        int left = 2 * i + 1;
        int right = 2 * i + 2;

        if (left < n && arr[left] > arr[maxPos])
            maxPos = left;
        if (right < n && arr[right] > arr[maxPos])
            maxPos = right;

        if (maxPos == i)
            break;

        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[maxPos];
        arr[maxPos] = temp;

        i = maxPos;
    }
}

// 建堆
void buildHeap(int arr[], int n) {
    // 从最后一个非叶子节点往前建堆
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        siftDown(arr, n, i);
    }
}

// 删除堆顶（取最大值）
int deleteMax(int arr[], int *n) {
    int maxVal = arr[0];
    // 最后一个元素放到堆顶
    arr[0] = arr[*n - 1];
    (*n)--;
    siftDown(arr, *n, 0);
    return maxVal;
}

// ==================== 测试 ====================
int main() {
    int arr[] = {3, 1, 7, 9, 4, 2, 8};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    buildHeap(arr, n);

    printf("依次取出堆顶（大顶堆）：");
    while (n > 0) {
        printf("%d ", deleteMax(arr, &n));
    }

    return 0;
}

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七、运行结果

依次取出堆顶（大顶堆）：9 8 7 4 3 2 1

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八、堆的典型用途

• 优先队列：任务调度、定时器
• 堆排序：O (n log n) 稳定高效
• TopK 问题：找最大 / 最小的 k 个数

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九、今日小练习

1. 把数组 [5, 2, 8, 1, 3] 建成大顶堆
2. 依次取出堆顶，观察输出是否降序