【每天学习一点算法 2026/04/13】两数相除

每天学习一点算法 2026/04/13

题目：两数相除

给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

注意：假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 $-231, 231 - 1$ 。本题中，如果商严格大于 231 − 1 ，则返回 231 − 1 ；如果商严格小于 -231 ，则返回 -231 。

这道题可给我折磨坏了，其实最简单的办法就是用 dividend 一直减 divisor ，直到结果小于 divisor，减的次数就是我们要求的结果。

typescript 复制代码

function divide(dividend: number, divisor: number): number {
    let res = 0
    while (dividend >= divisor) {
      dividend -= divisor
      res++
    }
    return res
};

但是不用想肯定是超时的，这个替换一个思路其实是要在 [1, dividend] 的范围内找到一个数字 n，使他的 dividend - divisor < divisor × n <= dividend 。

这样我们就是可以利用二分查找，减少复杂度，但是求倍数又是一个问题了，官方建议用使用 快速乘 类似 Pow(x, n) 的快速幂，像这样：

typescript 复制代码

function helper (x: number, n: number) {
  // 较小的数作为倍数
  if (x < n) {
    [x, n] = [n, x]
  }
  if (n === 1) {
    return x
  }
  if (x === 1) {
    return n
  }
  const m = n >> 1 // = Math.floor(n / 2) 利用右移代替除二
  if (m + m === n) {
      // 偶数
    return helper(x, m) + helper(x, m)
  } else {
    // 奇数
    return helper(x, m) + helper(x, m) + x
  }
}

但是遇到 dividend = 1026117192 divisor = -874002063 这种还是会超时，欺骗我感情。

最后呢，我们还是利用累加来判断 x × n 是否大于 dividend 来实现

typescript 复制代码

function divide(dividend: number, divisor: number): number {
    if (dividend === 0) return 0
    const MAX = 2147483647
    const MIN = -2147483648
    let res = 0
    let flag = (divisor > 0 && dividend > 0) || (divisor < 0 && dividend < 0) // 正负标识
    // 取绝对值做计算可以减少很多条件判断
    dividend = Math.abs(dividend) 
    divisor = Math.abs(divisor)
    if (dividend < divisor) return 0 // 除数大于被除数直接返回 0
    if (divisor === 1) {
      // 除数是 1 结果直接等于被除数
      res = dividend
    }
    if (dividend === divisor) {
      // 被除数和除数相等直接结果为1
      res = 1
    }
    
    // 辅助函数用于判断 x * n 是否大于 dividend
    function helper (x: number, n: number) {
      // 较小的数作为倍数
      if (x < n) {
        [x, n] = [n, x]
      }
      let sum = 0
      // 累加判断结果是否大于 dividend
      while (n > 0) {
        sum += x
        if (sum > dividend) {
          return false
        }
        n--
      }
      return true
    }
    
    // 二分查找目标倍数
    let left = 1, right = dividend
    while (left <= right && divisor > 1 && dividend !== divisor) {
      const mid = left + ((right - left) >> 1) // 利用右移代替除二
      const chenji = helper(divisor, mid)
      if (!chenji) {
        // divisor的mid倍大于dividend
        right = mid - 1
      } else {
        // divisor的mid倍小于等于dividend
        left = mid + 1
        res = mid
      }
    }
    // 最后根据符号返回对应结果，注意边界判断
    if (flag) {
      return Math.min(MAX, res)
    } else {
      return Math.max(MIN, -res)
    }
};

题目来源：力扣（LeetCode）