画师：竹取工坊
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主要内容是如何构造出二叉树的数据结构，如何通过递归和非递归的方式完成对二叉树的四种遍历方式。
一、树的基本概念
1. 什么是树
先看这么一张树的图片，从根延伸出枝干，枝干再继续分成多个叶子，我们把这样的模型抽象出来，称作树。
我们对树的结构提出以下几点要求：
- 树有一个特殊的节点，也就是根节点，根节点没有前驱。
- 树的子树之间互不相交。
- 除了根节点外，每个节点只有一个前驱（父节点），可以有多个后继。
因此树是没有环的。
2. 树的相关知识点
- 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度。
- 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度。
- 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
- 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
- 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点。
- 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次。
3. 树的表示方法
由于树是非线性的，因此存储表示会更麻烦。我们可以用双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等方式进行表示，其中孩子兄弟表示法最为常用：
java
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
我们实现二叉树的时候会简化表示的方式，这些表示方式仅作了解即可。
二、二叉树
1. 二叉树的概念
二叉树是树的一种特殊形式，要求树的度小于等于2 ，并且二叉树的树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 。如图：
有两种特殊的二叉树需要特别介绍：
-
满二叉树：每一层的节点数都达到最大值，例如：一个满二叉树的层数是k，节点总数是2^k - 1。
-
完全二叉树：叶子结点只能出现在最下层和次下层，最后一层的叶子结点在左边连续，倒数第二层的叶子结点在右边连续，我们称为完全二叉树。（相当于是从左到右填充节点，一层填满了填下一层）
满二叉树是特殊的完全二叉树。
2. 二叉树的创建
同样树也有对应的顺序存储和链式存储的两种方式，本文只介绍链式存储。
节点
我们采用孩子表示法来表示二叉树，跟链表类似，我们依旧采用内部类的方式定义二叉树的节点：
java
// 孩子表示法
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}创建一个树
我们定义一个 createTree() 方法，用于创建简单的树。
java
public TreeNode createTree() {
TreeNode a = new TreeNode(1);
TreeNode b = new TreeNode(2);
TreeNode c = new TreeNode(3);
TreeNode d = new TreeNode(4);
TreeNode e = new TreeNode(5);
TreeNode f = new TreeNode(6);
a.left = b;
a.right = c;
b.left = d;
c.left = e;
c.right = f;
return a;
}创造的二叉树如图：
3. 树的大小和深度
size()
我们采用两种方法进行计算：
- 内部递归输出
java
public int size(TreeNode root) {
int size = 0;
if (root == null) {
return 0;
}
return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}- 成员变量输出
java
int size = 0;
public void size2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
size++;
size2(root.left);
size2(root.right);
}或者每次加入元素的时候 size++。但是因为不涉及添加元素方法的书写，因此不细说。
getHeight（）
思路是树的高度是左树和右树深度最大值加上1，需要用到 Math 类的 max 方法。
java
public int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int height = 0;
return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
}4. 二叉树的遍历
树的遍历分为四种：前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历，遵循的顺序分别是：根-左树-右树，左树-根-右树，左树-右树-根，层内从左到右。前中后是指根在左树和右树的位置。
例如在上面给出的图中，四种遍历的结果如下：
1 2 4 3 5 6
4 2 1 5 3 6
4 2 5 6 3 1
1 2 3 4 5 6
递归实现
四种方法的递归实现如下：
1.前序遍历
java
public void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}2.中序遍历
java
public void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}3.后序遍历
java
public void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}4.层序遍历
为了实现层序遍历我们采用了辅助方法进行运算。
java
public void levelOrder(TreeNode root, int k) {
if (root == null) {
return;
}
if (k == 1) {
System.out.print(root.val + " ");
}
levelOrder(root.left, k - 1);
levelOrder(root.right, k - 1);
}
public void levelOrder(TreeNode root) {
int height = getHeight(root);
for (int i = 1; i <= height; i++) {
levelOrder(root, i);
}
}非递归实现
借助别的数据结构我们可以实现树的非递归遍历。
对于层序遍历，我们采用队列进行存储。具体如下：
java
public void levelOrder1(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
q.offer(root);
while (!q.isEmpty()) {
for (int i = 0; i < q.size(); i++) {
TreeNode node = q.poll();
System.out.println(node.val);
if (node.left != null) {
q.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
q.offer(node.right);
}
}
}而前中后序遍历我们则是采用栈的数据结构。
前序遍历：
java
public void preOrder1(TreeNode root) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.left;
}
cur = stack.pop();
cur = cur.right;
}
}中序遍历：
我们只需要把输出的时间从入栈改成出栈即可：
java
public void inOrder1(TreeNode root) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
cur = stack.pop();
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.right;
}
}后序遍历：
会更加麻烦一点，特别是在右节点的判定上。
因此我们引入了 top 和 prev 变量，用于判断右树是否已经遍历完毕。
java
public void postOrder1(TreeNode root) {
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
TreeNode prev = null;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right == null || prev == top.right) {
System.out.print(top.val + " ");
prev = top;
stack.pop();
} else {
cur = top.right;
}
}
}下一篇博客讲一些经典的二叉树练习题。