文章目录
前言
定积分计算结合微元法可求解函数图像绕某直线旋转得到的旋转体体积或侧面积
题目梗概
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一元积分3.1 函数平均值计算
求函数 y = x 2 1 − x 2 \displaystyle y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} y=1−x2 x2 在区间 [ 1 2 , 3 2 ] \left[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right] [21,23 ] 上的平均值。
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一元积分3.2 旋转体体积的最值问题
设 D 1 D_1 D1 是由抛物线 y = 2 x 2 y=2x^2 y=2x2 和直线 x = a , x = 2 x=a, x=2 x=a,x=2 及 y = 0 y=0 y=0 所围成的平面区域；
D 2 D_2 D2 是由抛物线 y = 2 x 2 y=2x^2 y=2x2 和直线 y = 0 , x = a y=0, x=a y=0,x=a 所围成的平面区域，其中 0 < a < 2 0<a<2 0<a<2。记 V 1 V_1 V1 为 D 1 D_1 D1 绕 x x x 轴旋转一周而成的旋转体体积， V 2 V_2 V2 为 D 2 D_2 D2 绕 y y y 轴旋转一周而成的旋转体体积。求 max ( V 1 + V 2 ) \max(V_1+V_2) max(V1+V2)。
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一元积分3.3 摆线绕y轴旋转体体积
计算摆线 { x = a ( t − sin t ) y = a ( 1 − cos t ) ( a > 0 , 0 ≤ t ≤ 2 π ) \begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases} \ (a>0, 0\le t\le 2\pi) {x=a(t−sint)y=a(1−cost) (a>0,0≤t≤2π) 与 x x x 轴所围图形绕 y y y 轴旋转一周的体积。
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一元积分3.4 隐函数曲线的弧长计算
已知函数 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 由方程 y 4 − 6 x y + 3 = 0 ( 1 ≤ y ≤ 2 ) y^4-6xy+3=0 \ (1\le y\le 2) y4−6xy+3=0 (1≤y≤2) 确定，求曲线从点 ( 3 2 , 1 ) \left(\frac{3}{2},1\right) (23,1) 到 ( 19 12 , 2 ) \left(\frac{19}{12},2\right) (1219,2) 的弧长。
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一元积分3.5 无穷区间反常积分与旋转体体积
求曲线 y = x 2 e − x ( 0 ≤ x < + ∞ ) y=x^2 e^{-x} \ (0\le x<+\infty) y=x2e−x (0≤x<+∞) 绕 x x x 轴旋转一周的旋转体体积。
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一元积分3.6 旋转体侧面积
求曲线 y = x 2 y=x^2 y=x2 从点 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 到点 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4) 的一段弧绕 y y y 轴旋转一周所得旋转体的侧面积
参考解析
3.1
考察点：函数平均值、定积分计算（三角换元、分部积分、拆分分式法）、不定积分公式推导
题目
求函数 y = x 2 1 − x 2 y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} y=1−x2 x2 在区间 [ 1 2 , 3 2 ] \left[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right] [21,23 ] 上的平均值。
解
函数在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的平均值公式为：
y ˉ = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \bar{y} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx yˉ=b−a1∫abf(x)dx
其中 f ( x ) = x 2 1 − x 2 f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} f(x)=1−x2 x2， a = 1 2 a=\frac{1}{2} a=21， b = 3 2 b=\frac{\sqrt{3}}{2} b=23 ，因此区间长度 b − a = 3 − 1 2 b-a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} b−a=23 −1，平均值为：
y ˉ = 2 3 − 1 ∫ 1 2 3 2 x 2 1 − x 2 d x \bar{y} = \frac{2}{\sqrt{3}-1}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx yˉ=3 −12∫2123 1−x2 x2dx
记 I = ∫ 1 2 3 2 x 2 1 − x 2 d x I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx I=∫2123 1−x2 x2dx，分别用两种方法计算 I I I：
法一：三角换元法
令 x = sin t x = \sin t x=sint，则 d x = cos t d t dx = \cos t dt dx=costdt， 1 − x 2 = cos t \sqrt{1-x^2} = \cos t 1−x2 =cost。
当 x = 1 2 x=\frac{1}{2} x=21 时， t = π 6 t=\frac{\pi}{6} t=6π；当 x = 3 2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} x=23 时， t = π 3 t=\frac{\pi}{3} t=3π。
代入积分得：
I = ∫ π 6 π 3 sin 2 t cos t ⋅ cos t d t = ∫ π 6 π 3 sin 2 t d t I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cdot \cos t dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 t dt I=∫6π3πcostsin2t⋅costdt=∫6π3πsin2tdt
利用三角恒等式 sin 2 t = 1 − cos 2 t 2 \sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2} sin2t=21−cos2t，积分得：
∫ sin 2 t d t = 1 2 t − 1 4 sin 2 t + C \int \sin^2 t dt = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t + C ∫sin2tdt=21t−41sin2t+C
代入上下限计算：
( 1 2 t − 1 4 sin 2 t ) ∣ π 6 π 3 = ( 1 2 ⋅ π 3 − 1 4 sin 2 π 3 ) − ( 1 2 ⋅ π 6 − 1 4 sin π 3 ) \left. \left( \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t \right) \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} \right) - \left( \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{3} \right) (21t−41sin2t) 6π3π=(21⋅3π−41sin32π)−(21⋅6π−41sin3π)
由于 sin 2 π 3 = sin π 3 = 3 2 \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} sin32π=sin3π=23 ，因此：
I = ( π 6 − 3 8 ) − ( π 12 − 3 8 ) = π 12 I = \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) - \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\pi}{12} I=(6π−83 )−(12π−83 )=12π
法二：分部积分+拆分分式法
步骤1：分部积分
将被积函数拆分为 x ⋅ x 1 − x 2 x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} x⋅1−x2 x，注意到 d ( 1 − x 2 ) = − x 1 − x 2 d x d\left(\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}dx d(1−x2 )=1−x2 −xdx，即 x 1 − x 2 d x = − d ( 1 − x 2 ) \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = -d\left(\sqrt{1-x^2}\right) 1−x2 xdx=−d(1−x2 )，因此：
I = ∫ 1 2 3 2 x ⋅ x 1 − x 2 d x = − ∫ 1 2 3 2 x d ( 1 − x 2 ) I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} x d\left(\sqrt{1-x^2}\right) I=∫2123 x⋅1−x2 xdx=−∫2123 xd(1−x2 )
由分部积分公式 ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u dv = uv - \int v du ∫udv=uv−∫vdu：
I = − x 1 − x 2 ∣ 1 2 3 2 + ∫ 1 2 3 2 1 − x 2 d x I = -\left. x\sqrt{1-x^2} \right|{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \int{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx I=−x1−x2 2123 +∫2123 1−x2 dx
计算边界项：
- x = 3 2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} x=23 时， x 1 − x 2 = 3 2 ⋅ 1 2 = 3 4 x\sqrt{1-x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x1−x2 =23 ⋅21=43
- x = 1 2 x=\frac{1}{2} x=21 时， x 1 − x 2 = 1 2 ⋅ 3 2 = 3 4 x\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x1−x2 =21⋅23 =43
因此边界项为 − ( 3 4 − 3 4 ) = 0 -\left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = 0 −(43 −43 )=0，故：
I = ∫ 1 2 3 2 1 − x 2 d x (1) I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx \tag{1} I=∫2123 1−x2 dx(1)
步骤2：拆分分式法
将被积函数拆分为：
x 2 1 − x 2 = x 2 − 1 + 1 1 − x 2 = − 1 − x 2 1 − x 2 + 1 1 − x 2 = − 1 − x 2 + 1 1 − x 2 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1−x2 x2=1−x2 x2−1+1=−1−x2 1−x2+1−x2 1=−1−x2 +1−x2 1
因此积分：
I = ∫ 1 2 3 2 ( − 1 − x 2 + 1 1 − x 2 ) d x = − ∫ 1 2 3 2 1 − x 2 d x + arcsin x ∣ 1 2 3 2 I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left( -\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx = -\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2}dx + \left. \arcsin x \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} I=∫2123 (−1−x2 +1−x2 1)dx=−∫2123 1−x2 dx+arcsinx∣2123
计算 arcsin x \arcsin x arcsinx 的上下限：
arcsin x ∣ 1 2 3 2 = arcsin 3 2 − arcsin 1 2 = π 3 − π 6 = π 6 \left. \arcsin x \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} arcsinx∣2123 =arcsin23 −arcsin21=3π−6π=6π
因此：
I = − ∫ 1 2 3 2 1 − x 2 d x + π 6 (2) I = -\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2}dx + \frac{\pi}{6} \tag{2} I=−∫2123 1−x2 dx+6π(2)
步骤3：联立求解
联立 (1) 和 (2)：
I = − I + π 6 I = -I + \frac{\pi}{6} I=−I+6π
解得 2 I = π 6 2I = \frac{\pi}{6} 2I=6π，即 I = π 12 I = \frac{\pi}{12} I=12π，与法一结果一致。
平均值计算
将 I = π 12 I=\frac{\pi}{12} I=12π 代入平均值公式：
y ˉ = 2 3 − 1 ⋅ π 12 = π 6 ( 3 − 1 ) \bar{y} = \frac{2}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6(\sqrt{3}-1)} yˉ=3 −12⋅12π=6(3 −1)π
分母有理化（乘以 3 + 1 3 + 1 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} 3 +13 +1）：
y ˉ = π ( 3 + 1 ) 6 ( 3 − 1 ) ( 3 + 1 ) = ( 3 + 1 ) π 12 \bar{y} = \frac{\pi(\sqrt{3}+1)}{6(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \boxed{\frac{(\sqrt{3}+1)\pi}{12}} yˉ=6(3 −1)(3 +1)π(3 +1)=12(3 +1)π
补充：不定积分推导
两种方法均可用于计算不定积分 ∫ x 2 1 − x 2 d x \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx ∫1−x2 x2dx：
- 三角换元法：令 x = sin t x=\sin t x=sint，得
∫ sin 2 t d t = 1 2 t − 1 4 sin 2 t + C = 1 2 arcsin x − 1 2 x 1 − x 2 + C \int \sin^2 t dt = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t + C = \frac{1}{2}\arcsin x - \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C ∫sin2tdt=21t−41sin2t+C=21arcsinx−21x1−x2 +C - 拆分分式法：
∫ x 2 1 − x 2 d x = ∫ ( − 1 − x 2 + 1 1 − x 2 ) d x \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int \left( -\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) dx ∫1−x2 x2dx=∫(−1−x2 +1−x2 1)dx
利用 ∫ 1 − x 2 d x = x 2 1 − x 2 + 1 2 arcsin x + C \int \sqrt{1-x^2}dx = \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x + C ∫1−x2 dx=2x1−x2 +21arcsinx+C， ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C ∫1−x2 1dx=arcsinx+C，代入得：
∫ x 2 1 − x 2 d x = − ( x 2 1 − x 2 + 1 2 arcsin x ) + arcsin x + C = 1 2 arcsin x − 1 2 x 1 − x 2 + C \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\left( \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin x \right) + \arcsin x + C = \frac{1}{2}\arcsin x - \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C ∫1−x2 x2dx=−(2x1−x2 +21arcsinx)+arcsinx+C=21arcsinx−21x1−x2 +C
两种方法结果一致。
3.2
考察点：旋转体体积计算（圆盘法、圆柱壳法）、一元函数求最值、导数应用
设 D 1 D_1 D1 是由抛物线 y = 2 x 2 y=2x^2 y=2x2 和直线 x = a , x = 2 x=a, x=2 x=a,x=2 及 y = 0 y=0 y=0 所围成的平面区域；
D 2 D_2 D2 是由抛物线 y = 2 x 2 y=2x^2 y=2x2 和直线 y = 0 , x = a y=0, x=a y=0,x=a 所围成的平面区域，其中 0 < a < 2 0<a<2 0<a<2。
记 V 1 V_1 V1 为 D 1 D_1 D1 绕 x x x 轴旋转一周而成的旋转体体积， V 2 V_2 V2 为 D 2 D_2 D2 绕 y y y 轴旋转一周而成的旋转体体积。求 max ( V 1 + V 2 ) \max(V_1+V_2) max(V1+V2)。
解：
-
计算旋转体体积
D 1 D_1 D1 绕 x x x 轴旋转（圆盘法）：
V 1 = π ∫ a 2 ( 2 x 2 ) 2 d x = 4 π ∫ a 2 x 4 d x = 4 π 5 ( 32 − a 5 ) V_1 = \pi \int_a^2 (2x^2)^2 dx = 4\pi \int_a^2 x^4 dx = \frac{4\pi}{5}(32-a^5) V1=π∫a2(2x2)2dx=4π∫a2x4dx=54π(32−a5)
D 2 D_2 D2 绕 y y y 轴旋转（圆柱壳法）：
V 2 = 2 π ∫ 0 a x ⋅ 2 x 2 d x = 4 π ∫ 0 a x 3 d x = π a 4 V_2 = 2\pi \int_0^a x\cdot 2x^2 dx = 4\pi \int_0^a x^3 dx = \pi a^4 V2=2π∫0ax⋅2x2dx=4π∫0ax3dx=πa4 -
构造函数并求最值
令 f ( a ) = V 1 + V 2 = 4 π 5 ( 32 − a 5 ) + π a 4 f(a) = V_1+V_2 = \frac{4\pi}{5}(32-a^5)+\pi a^4 f(a)=V1+V2=54π(32−a5)+πa4
求导：
f ′ ( a ) = − 4 π a 4 + 4 π a 3 = − 4 π a 3 ( a − 1 ) f'(a) = -4\pi a^4 +4\pi a^3 = -4\pi a^3(a-1) f′(a)=−4πa4+4πa3=−4πa3(a−1)令 f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f′(a)=0，得驻点 a = 1 a=1 a=1（ 0 < a < 2 0<a<2 0<a<2）。
-
计算最大值
代入 a = 1 a=1 a=1：
V 1 = 124 π 5 , V 2 = π V_1=\frac{124\pi}{5},\quad V_2=\pi V1=5124π,V2=π
max ( V 1 + V 2 ) = 129 π 5 \max(V_1+V_2) = \frac{129\pi}{5} max(V1+V2)=5129π
或用
将 a 4 ( 1 − 4 5 a ) a^4\left(1-\dfrac{4}{5}a\right) a4(1−54a) 变形并拆分：
a 4 ( 1 − 4 5 a ) = 5 4 ⋅ ( a 5 ) 4 ( 1 − 4 5 a ) a^4\left(1-\frac{4}{5}a\right) =5^4\cdot\left(\frac{a}{5}\right)^4\left(1-\frac{4}{5}a\right) a4(1−54a)=54⋅(5a)4(1−54a)
由五元均值不等式，对 a 5 , a 5 , a 5 , a 5 , 1 − 4 a 5 \dfrac{a}{5},\dfrac{a}{5},\dfrac{a}{5},\dfrac{a}{5},1-\dfrac{4a}{5} 5a,5a,5a,5a,1−54a 有：
( a 5 ) 4 ( 1 − 4 a 5 ) ⩽ ( 4 ⋅ a 5 + 1 − 4 a 5 5 ) 5 = 1 5 5 \left(\frac{a}{5}\right)^4\left(1-\frac{4a}{5}\right) \leqslant\left(\frac{4\cdot\dfrac{a}{5}+1-\dfrac{4a}{5}}{5}\right)^5 =\frac{1}{5^5} (5a)4(1−54a)⩽ 54⋅5a+1−54a 5=551
当且仅当 a 5 = 1 − 4 a 5 \dfrac{a}{5}=1-\dfrac{4a}{5} 5a=1−54a，即 a = 1 a=1 a=1 时取等号，代入得体积最大值：
max ( V 1 + V 2 ) = 129 π 5 \max(V_1+V_2)=\boxed{\frac{129\pi}{5}} max(V1+V2)=5129π
3.3
考察点：参数方程曲线、旋转体体积（圆柱壳法）、定积分换元计算
计算摆线 { x = a ( t − sin t ) y = a ( 1 − cos t ) ( a > 0 , 0 ≤ t ≤ 2 π ) \begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases} \ (a>0, 0\le t\le 2\pi) {x=a(t−sint)y=a(1−cost) (a>0,0≤t≤2π) 与 x x x 轴所围图形绕 y y y 轴旋转一周的体积。
解 ：
利用圆柱壳法公式 V y = 2 π ∫ a b x y d x V_y=2\pi\int_a^b x y \mathrm{d}x Vy=2π∫abxydx，参数换元 d x = a ( 1 − cos t ) d t \mathrm{d}x=a(1-\cos t)\mathrm{d}t dx=a(1−cost)dt：
V y = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin t ) ⋅ a ( 1 − cos t ) ⋅ a ( 1 − cos t ) d t V_y = 2\pi \int_0^{2\pi} a(t-\sin t)\cdot a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t) \mathrm{d}t Vy=2π∫02πa(t−sint)⋅a(1−cost)⋅a(1−cost)dt
化简得：
V y = 2 π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin t ) ( 1 − cos t ) 2 d t V_y = 2\pi a^3 \int_0^{2\pi} (t-\sin t)(1-\cos t)^2 \mathrm{d}t Vy=2πa3∫02π(t−sint)(1−cost)2dt
积分计算最终结果：
V y = 6 π 2 a 3 V_y = \boxed{6\pi^2 a^3} Vy=6π2a3
3.4
考察点：隐函数求导、平面曲线弧长公式、定积分计算
已知函数 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x) 由方程 y 4 − 6 x y + 3 = 0 ( 1 ≤ y ≤ 2 ) y^4-6xy+3=0 \ (1\le y\le 2) y4−6xy+3=0 (1≤y≤2) 确定，求曲线从点 ( 3 2 , 1 ) \left(\frac{3}{2},1\right) (23,1) 到 ( 19 12 , 2 ) \left(\frac{19}{12},2\right) (1219,2) 的弧长。
解：
- 弧长公式（对 y y y积分）： L = ∫ 1 2 1 + ( x ′ ) 2 d y L=\int_1^2 \sqrt{1+(x')^2}\mathrm{d}y L=∫121+(x′)2 dy
- 隐函数求导：
方程两边对 x x x 求导： 4 y 3 y ′ − 6 ( y + x y ′ ) = 0 4y^3y'-6(y+xy')=0 4y3y′−6(y+xy′)=0，解得：
y ′ = 3 y 2 y 3 − 3 x , x ′ = 2 y 3 − 3 x 3 y y'=\frac{3y}{2y^3-3x},\quad x'=\frac{2y^3-3x}{3y} y′=2y3−3x3y,x′=3y2y3−3x - 化简积分并计算：
L = ∫ 1 2 ( y 2 + 1 2 y 2 ) d y L = \int_1^2 \left(y^2+\frac{1}{2y^2}\right)\mathrm{d}y L=∫12(y2+2y21)dy
L = ( 1 3 y 3 − 1 2 y ) ∣ 1 2 = 17 12 L = \left.\left( \frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{2y} \right)\right|_1^2 = \boxed{\frac{17}{12}} L=(31y3−2y1) 12=1217
3.5
考察点：无穷限反常积分、旋转体体积、Gamma函数、表格积分法
求曲线 y = x 2 e − x ( 0 ≤ x < + ∞ ) y=x^2 e^{-x} \ (0\le x<+\infty) y=x2e−x (0≤x<+∞) 绕 x x x 轴旋转一周的旋转体体积。
解 ：
旋转体体积公式：
V = π ∫ 0 + ∞ ( x 2 e − x ) 2 d x = π ∫ 0 + ∞ x 4 e − 2 x d x V = \pi \int_0^{+\infty} (x^2 e^{-x})^2 \mathrm{d}x = \pi \int_0^{+\infty} x^4 e^{-2x} \mathrm{d}x V=π∫0+∞(x2e−x)2dx=π∫0+∞x4e−2xdx
方法1：Gamma函数法
令 t = 2 x t=2x t=2x，则 x = t 2 , d x = 1 2 d t x=\frac{t}{2},\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t x=2t,dx=21dt：
V = π 32 ∫ 0 + ∞ t 4 e − t d t = π 32 ⋅ Γ ( 5 ) V = \frac{\pi}{32}\int_0^{+\infty} t^4 e^{-t}\mathrm{d}t = \frac{\pi}{32}\cdot\Gamma(5) V=32π∫0+∞t4e−tdt=32π⋅Γ(5)
由 Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n+1)=n! Γ(n+1)=n!，得：
V = 24 π 32 = 3 π 4 V = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4} V=3224π=43π
方法2：表格积分法
| 求导序列 | 积分序列 | 符号 |
|---|---|---|
| x 4 x^4 x4 | + + + | |
| 4 x 3 4x^3 4x3 | e − 2 x e^{-2x} e−2x | − - − |
| 12 x 2 12x^2 12x2 | − 1 2 e − 2 x -\dfrac{1}{2}e^{-2x} −21e−2x | + + + |
| 24 x 24x 24x | 1 4 e − 2 x \dfrac{1}{4}e^{-2x} 41e−2x | − - − |
| 24 24 24 | − 1 8 e − 2 x -\dfrac{1}{8}e^{-2x} −81e−2x | + + + |
| 0 0 0 | 1 16 e − 2 x \dfrac{1}{16}e^{-2x} 161e−2x | − - − |
∫ x 4 e − 2 x d x = − 1 4 e − 2 x ( 16 x 4 + 32 x 3 + 48 x 2 + 48 x + 24 8 ) + C = − 1 4 e − 2 x ( 2 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 ) + C \int x^4 e^{-2x} dx = -\frac{1}{4}e^{-2x}\left(\frac{16x^4+32x^3+48x^2+48x+24}{8}\right)+C = -\frac{1}{4}e^{-2x}\left(2x^4+4x^3+6x^2+6x+3\right)+C ∫x4e−2xdx=−41e−2x(816x4+32x3+48x2+48x+24)+C=−41e−2x(2x4+4x3+6x2+6x+3)+C
∫ 0 + ∞ x 4 e − 2 x d x = lim b → + ∞ [ − 1 4 e − 2 x ( 2 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 ) ] 0 b = 0 − ( − 1 4 ⋅ 3 ) = 3 4 \int_0^{+\infty} x^4 e^{-2x} dx = \lim_{b\to+\infty}\left[ -\frac{1}{4}e^{-2x}\left(2x^4+4x^3+6x^2+6x+3\right) \right]_0^b = 0 - \left( -\frac{1}{4}\cdot 3 \right) = \frac{3}{4} ∫0+∞x4e−2xdx=b→+∞lim[−41e−2x(2x4+4x3+6x2+6x+3)]0b=0−(−41⋅3)=43
逐项积分得结果与Gamma函数法一致，最终体积：
V = 3 π 4 V=\boxed{\frac{3\pi}{4}} V=43π
3.6
考察点：旋转体侧面积公式、弧长元素、定积分换元法
题目：求曲线 y = x 2 y=x^2 y=x2 从点 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) 到点 ( 2 , 4 ) (2,4) (2,4) 的一段弧绕 y y y 轴旋转一周所得旋转体的侧面积。
解（法一：以 x x x为积分变量）
绕 y y y轴旋转的侧面积公式为：
S = 2 π ∫ a b x ⋅ d s S = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot ds S=2π∫abx⋅ds
其中弧长元素 d s = 1 + ( y ′ ) 2 d x ds = \sqrt{1+(y')^2}dx ds=1+(y′)2 dx，这里 y = x 2 y=x^2 y=x2，故 y ′ = 2 x y'=2x y′=2x， x ∈ [ 1 , 2 ] x\in[1,2] x∈[1,2]，代入得：
S = 2 π ∫ 1 2 x 1 + ( 2 x ) 2 d x = 2 π ∫ 1 2 x 1 + 4 x 2 d x S = 2\pi \int_{1}^{2} x\sqrt{1+(2x)^2} dx = 2\pi \int_{1}^{2} x\sqrt{1+4x^2} dx S=2π∫12x1+(2x)2 dx=2π∫12x1+4x2 dx
换元：令 u = 1 + 4 x 2 u=1+4x^2 u=1+4x2，则 d u = 8 x d x du=8x dx du=8xdx，即 x d x = 1 8 d u x dx = \frac{1}{8}du xdx=81du。
当 x = 1 x=1 x=1时， u = 5 u=5 u=5；当 x = 2 x=2 x=2时， u = 17 u=17 u=17。
于是：
S = 2 π ⋅ 1 8 ∫ 5 17 u d u = π 4 ⋅ 2 3 u 3 2 ∣ 5 17 = π 6 ( 17 3 2 − 5 3 2 ) = π 6 ( 17 17 − 5 5 ) S = 2\pi \cdot \frac{1}{8} \int_{5}^{17} \sqrt{u} du = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \Big|_{5}^{17} = \frac{\pi}{6} \left(17^{\frac{3}{2}} - 5^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\right) S=2π⋅81∫517u du=4π⋅32u23 517=6π(1723−523)=6π(1717 −55 )
解（法二：以 y y y为积分变量）
由 y = x 2 y=x^2 y=x2得 x = y x=\sqrt{y} x=y ， y ∈ [ 1 , 4 ] y\in[1,4] y∈[1,4]，弧长元素 d s = 1 + ( d x d y ) 2 d y ds = \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy ds=1+(dydx)2 dy，其中 d x d y = 1 2 y \frac{dx}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}} dydx=2y 1，代入侧面积公式：
S = 2 π ∫ 1 4 x ⋅ d s = 2 π ∫ 1 4 y ⋅ 1 + ( 1 2 y ) 2 d y S = 2\pi \int_{1}^{4} x \cdot ds = 2\pi \int_{1}^{4} \sqrt{y} \cdot \sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)^2} dy S=2π∫14x⋅ds=2π∫14y ⋅1+(2y 1)2 dy
化简被积函数：
y ⋅ 1 + 1 4 y = y ⋅ ( 1 + 1 4 y ) = y + 1 4 \sqrt{y} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{4y}} = \sqrt{y \cdot \left(1+\frac{1}{4y}\right)} = \sqrt{y+\frac{1}{4}} y ⋅1+4y1 =y⋅(1+4y1) =y+41
因此：
S = 2 π ∫ 1 4 y + 1 4 d y S = 2\pi \int_{1}^{4} \sqrt{y+\frac{1}{4}} dy S=2π∫14y+41 dy
换元：令 u = y + 1 4 u=y+\frac{1}{4} u=y+41，则 d u = d y du=dy du=dy， y = 1 y=1 y=1时 u = 5 4 u=\frac{5}{4} u=45， y = 4 y=4 y=4时 u = 17 4 u=\frac{17}{4} u=417：
S = 2 π ∫ 5 4 17 4 u d u = 2 π ⋅ 2 3 u 3 2 ∣ 5 4 17 4 = 4 π 3 [ ( 17 4 ) 3 2 − ( 5 4 ) 3 2 ] S = 2\pi \int_{\frac{5}{4}}^{\frac{17}{4}} \sqrt{u} du = 2\pi \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \Big|_{\frac{5}{4}}^{\frac{17}{4}} = \frac{4\pi}{3} \left[ \left(\frac{17}{4}\right)^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{2}} \right] S=2π∫45417u du=2π⋅32u23 45417=34π[(417)23−(45)23]
计算： ( 17 4 ) 3 2 = 17 17 8 \left(\frac{17}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{17\sqrt{17}}{8} (417)23=81717 ， ( 5 4 ) 3 2 = 5 5 8 \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{8} (45)23=855 ，代入得：
S = 4 π 3 ⋅ 17 17 − 5 5 8 = π 6 ( 17 17 − 5 5 ) S = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{17\sqrt{17}-5\sqrt{5}}{8} = \frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\right) S=34π⋅81717 −55 =6π(1717 −55 )
最终结果：
S = π 6 ( 17 17 − 5 5 ) \boxed{S = \frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\right)} S=6π(1717 −55 )
后话
看清题目条件，认真翻译后套公式计算即可