文章目录
前言
合理拆分，善于观察，运用好泰勒展开
题目梗概
2026.5.23
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无穷级数1.1 正项级数收敛与乘积项级数的绝对收敛性证明
设 a n > 0 ( n = 1 , 2 , ... ) a_n>0\ (n=1,2,\dots) an>0 (n=1,2,...)，级数 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an 收敛，常数 λ > 0 \lambda>0 λ>0，证明：级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( n sin λ n ) a 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(n\sin\frac{\lambda}{n}\right)a_{2n} n=1∑∞(−1)n(nsinnλ)a2n 绝对收敛。
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无穷级数1.2 对数型级数的敛散性判别
判别级数 ∑ n = 2 ∞ ln [ 1 + ( − 1 ) n n ] \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ln\left[1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right] n=2∑∞ln[1+n (−1)n] 的敛散性。
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无穷级数1.3 含奇偶项差异的幂级数收敛域求解
求幂级数 ∑ n = 1 ∞ [ 3 + ( − 1 ) n ] n n x n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n n=1∑∞n[3+(−1)n]nxn 的收敛域。
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无穷级数1.4 偶次幂级数的和函数求解（拆分法+逐项积分）
求幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n + 1 − 1 ) x 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n+1}-1\right)x^{2n} n=1∑∞(2n+11−1)x2n 在区间 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1) 内的和函数。
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无穷级数1.5 数项级数求和（利用幂级数的导数公式）
求级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n ( n 2 − n + 1 ) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(n^2 - n + 1) n=0∑∞2n(−1)n(n2−n+1) 的和。
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无穷级数1.6 有理函数的幂级数展开（部分分式法）
将函数 f ( x ) = 1 x 2 − 3 x + 2 \displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} f(x)=x2−3x+21 展开成 x x x 的幂级数，并指出收敛区间。
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无穷级数1.7 幂级数的和函数及其平移展开（正弦函数的幂级数）
将幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 2 x 2 n − 1 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!2^{2n-2}}x^{2n-1} n=1∑∞(2n−1)!22n−2(−1)n−1x2n−1 的和函数展开为 x − 1 x-1 x−1 的幂级数。
参考解析
1.1
考察点：正项级数收敛的性质、比较判别法、等价无穷小
题目 ：设 a n > 0 ( n = 1 , 2 , ... ) a_n>0\ (n=1,2,\dots) an>0 (n=1,2,...)，级数 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an 收敛，常数 λ > 0 \lambda>0 λ>0，证明：级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( n sin λ n ) a 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(n\sin\frac{\lambda}{n}\right)a_{2n} n=1∑∞(−1)n(nsinnλ)a2n 绝对收敛。
证明：
- 由正项级数 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n n=1∑∞an 收敛，其子级数 ∑ n = 1 ∞ a 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{2n} n=1∑∞a2n 也收敛（正项级数的任意子级数收敛）。
- 当 n → ∞ n\to\infty n→∞ 时，由等价无穷小， n sin λ n ∼ λ n\sin\frac{\lambda}{n} \sim \lambda nsinnλ∼λ，因此：
lim n → ∞ ∣ ( − 1 ) n ( n sin λ n ) a 2 n ∣ a 2 n = lim n → ∞ n sin λ n = λ > 0 \lim_{n\to\infty} \frac{\left| (-1)^n\left(n\sin\frac{\lambda}{n}\right)a_{2n} \right|}{a_{2n}} = \lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\lambda}{n} = \lambda > 0 n→∞lima2n (−1)n(nsinnλ)a2n =n→∞limnsinnλ=λ>0 - 由正项级数的比较判别法（极限形式） ， ∑ n = 1 ∞ ∣ ( − 1 ) n ( n sin λ n ) a 2 n ∣ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left| (-1)^n\left(n\sin\frac{\lambda}{n}\right)a_{2n} \right| n=1∑∞ (−1)n(nsinnλ)a2n 与 ∑ n = 1 ∞ a 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{2n} n=1∑∞a2n 同敛散性，故其收敛。因此原级数绝对收敛。
1.2
考察点：泰勒展开、级数的条件收敛与绝对收敛判别、级数的运算性质
题目 ：判别级数 ∑ n = 2 ∞ ln [ 1 + ( − 1 ) n n ] \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \ln\left[1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right] n=2∑∞ln[1+n (−1)n] 的敛散性。
解 ：
利用泰勒展开 ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + o ( x 2 ) \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) ln(1+x)=x−2x2+o(x2)（当 x → 0 x\to0 x→0 时），令 x = ( − 1 ) n n x=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} x=n (−1)n，则：
ln [ 1 + ( − 1 ) n n ] = ( − 1 ) n n − 1 2 n + o ( 1 n ) \ln\left[1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right] = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) ln[1+n (−1)n]=n (−1)n−2n1+o(n1)
将原级数拆分为三个部分：
∑ n = 2 ∞ ln [ 1 + ( − 1 ) n n ] = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n − ∑ n = 2 ∞ 1 2 n + ∑ n = 2 ∞ o ( 1 n ) \sum_{n=2}^\infty \ln\left[1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right] = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2n} + \sum_{n=2}^\infty o\left(\frac{1}{n}\right) n=2∑∞ln[1+n (−1)n]=n=2∑∞n (−1)n−n=2∑∞2n1+n=2∑∞o(n1)
- 级数 ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} n=2∑∞n (−1)n 是交错级数，由莱布尼茨判别法，条件收敛；
- 级数 ∑ n = 2 ∞ 1 2 n − o ( 1 n ) \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2n}-o\left(\frac{1}{n}\right) n=2∑∞2n1−o(n1) 与 ∑ n = 2 ∞ 1 n \displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} n=2∑∞n1 同阶，发散。
收敛级数与发散级数的和为发散级数，故原级数发散 。
原级数发散 \boxed{\text{原级数发散}} 原级数发散
1.3
考察点：幂级数收敛半径的上极限公式、比值判别法、端点敛散性判别
题目 ：求幂级数 ∑ n = 1 ∞ [ 3 + ( − 1 ) n ] n n x n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{[3+(-1)^n]^n}{n}x^n n=1∑∞n[3+(−1)n]nxn 的收敛域。
解：
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收敛半径计算 ：
记 a n = [ 3 + ( − 1 ) n ] n n a_n = \frac{[3+(-1)^n]^n}{n} an=n[3+(−1)n]n，则 ∣ a n ∣ 1 / n = 3 + ( − 1 ) n n 1 / n |a_n|^{1/n} = \frac{3+(-1)^n}{n^{1/n}} ∣an∣1/n=n1/n3+(−1)n。
当 n n n 为偶数时， 3 + ( − 1 ) n = 4 3+(-1)^n=4 3+(−1)n=4，故 ∣ a n ∣ 1 / n = 4 n 1 / n → 4 |a_n|^{1/n} = \frac{4}{n^{1/n}} \to 4 ∣an∣1/n=n1/n4→4；
当 n n n 为奇数时， 3 + ( − 1 ) n = 2 3+(-1)^n=2 3+(−1)n=2，故 ∣ a n ∣ 1 / n = 2 n 1 / n → 2 |a_n|^{1/n} = \frac{2}{n^{1/n}} \to 2 ∣an∣1/n=n1/n2→2。
因此 lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n = 4 \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = 4 limsupn→∞∣an∣1/n=4，由幂级数收敛半径公式，收敛半径 R = 1 4 R = \frac{1}{4} R=41。
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端点敛散性判别：
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当 x = 1 4 x=\frac{1}{4} x=41 时，原级数为 ∑ n = 1 ∞ [ 3 + ( − 1 ) n ] n n ( 1 4 ) n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{[3+(-1)^n]^n}{n}\left(\frac{1}{4}\right)^n n=1∑∞n[3+(−1)n]n(41)n。
偶数项： n = 2 k n=2k n=2k，项为 4 2 k 2 k ( 1 4 ) 2 k = 1 2 k \frac{4^{2k}}{2k}\left(\frac{1}{4}\right)^{2k} = \frac{1}{2k} 2k42k(41)2k=2k1，级数 ∑ k = 1 ∞ 1 2 k \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} k=1∑∞2k1 发散；
奇数项： n = 2 k − 1 n=2k-1 n=2k−1，项为 2 2 k − 1 2 k − 1 ( 1 4 ) 2 k − 1 = 1 ( 2 k − 1 ) 2 2 k − 1 \frac{2^{2k-1}}{2k-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{2k-1} = \frac{1}{(2k-1)2^{2k-1}} 2k−122k−1(41)2k−1=(2k−1)22k−11，级数 ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k − 1 ) 2 2 k − 1 \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)2^{2k-1}} k=1∑∞(2k−1)22k−11 收敛。
由于发散项存在，原级数在 x = 1 4 x=\frac{1}{4} x=41 处发散。
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当 x = − 1 4 x=-\frac{1}{4} x=−41 时，原级数为 ∑ n = 1 ∞ [ 3 + ( − 1 ) n ] n n ( − 1 4 ) n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{[3+(-1)^n]^n}{n}\left(-\frac{1}{4}\right)^n n=1∑∞n[3+(−1)n]n(−41)n。
偶数项： n = 2 k n=2k n=2k，项为 4 2 k 2 k ( − 1 4 ) 2 k = 1 2 k \frac{4^{2k}}{2k}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2k} = \frac{1}{2k} 2k42k(−41)2k=2k1，级数 ∑ k = 1 ∞ 1 2 k \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k} k=1∑∞2k1 发散；
奇数项： n = 2 k − 1 n=2k-1 n=2k−1，项为 2 2 k − 1 2 k − 1 ( − 1 4 ) 2 k − 1 = ( − 1 ) 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) 2 2 k − 1 \frac{2^{2k-1}}{2k-1}\left(-\frac{1}{4}\right)^{2k-1} = \frac{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)2^{2k-1}} 2k−122k−1(−41)2k−1=(2k−1)22k−1(−1)2k−1，级数 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) 2 2 k − 1 \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)2^{2k-1}} k=1∑∞(2k−1)22k−1(−1)2k−1 收敛。
由于发散项存在，原级数在 x = − 1 4 x=-\frac{1}{4} x=−41 处发散。
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综上，幂级数的收敛域为 ( − 1 4 , 1 4 ) \boxed{\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right)} (−41,41)。
1.4
考察点：幂级数的拆分、逐项求导与积分、常见幂级数和函数
题目 ：求幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 n + 1 − 1 ) x 2 n \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2n+1}-1\right)x^{2n} n=1∑∞(2n+11−1)x2n 在区间 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1) 内的和函数。
解 ：
将级数拆分为两部分：
S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x 2 n 2 n + 1 − ∑ n = 1 ∞ x 2 n = S 1 ( x ) − S 2 ( x ) , x ∈ ( − 1 , 1 ) S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} - \sum_{n=1}^\infty x^{2n} = S_1(x) - S_2(x), \quad x\in(-1,1) S(x)=n=1∑∞2n+1x2n−n=1∑∞x2n=S1(x)−S2(x),x∈(−1,1)
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计算 S 2 ( x ) S_2(x) S2(x) ：
S 2 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x 2 n = x 2 1 − x 2 S_2(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{2n} = \frac{x^2}{1-x^2} S2(x)=∑n=1∞x2n=1−x2x2（等比级数，公比 x 2 < 1 x^2<1 x2<1）。 -
计算 S 1 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x 2 n 2 n + 1 S_1(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} S1(x)=∑n=1∞2n+1x2n：
- 当 x = 0 x=0 x=0 时， S 1 ( 0 ) = 0 S_1(0)=0 S1(0)=0；
- 当 x ≠ 0 x\neq0 x=0 时，两边乘 x x x 得 x S 1 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 xS_1(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1} xS1(x)=∑n=1∞2n+1x2n+1，逐项求导：
( x S 1 ( x ) ) ′ = ∑ n = 1 ∞ x 2 n = x 2 1 − x 2 (xS_1(x))' = \sum_{n=1}^\infty x^{2n} = \frac{x^2}{1-x^2} (xS1(x))′=n=1∑∞x2n=1−x2x2
两边从 0 0 0 到 x x x 积分：
x S 1 ( x ) = ∫ 0 x t 2 1 − t 2 d t = ∫ 0 x ( 1 1 − t 2 − 1 ) d t = 1 2 ln 1 + x 1 − x − x xS_1(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1-t^2}dt = \int_0^x \left(\frac{1}{1-t^2} - 1\right)dt = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} - x xS1(x)=∫0x1−t2t2dt=∫0x(1−t21−1)dt=21ln1−x1+x−x
因此 S 1 ( x ) = 1 2 x ln 1 + x 1 − x − 1 S_1(x) = \frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - 1 S1(x)=2x1ln1−x1+x−1（ x ≠ 0 x\neq0 x=0）。
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合并和函数：
- 当 x = 0 x=0 x=0 时， S ( 0 ) = S 1 ( 0 ) − S 2 ( 0 ) = 0 − 0 = 0 S(0) = S_1(0) - S_2(0) = 0 - 0 = 0 S(0)=S1(0)−S2(0)=0−0=0；
- 当 x ≠ 0 x\neq0 x=0 时，
S ( x ) = ( 1 2 x ln 1 + x 1 − x − 1 ) − x 2 1 − x 2 = 1 2 x ln 1 + x 1 − x − 1 1 − x 2 S(x) = \left(\frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - 1\right) - \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - \frac{1}{1-x^2} S(x)=(2x1ln1−x1+x−1)−1−x2x2=2x1ln1−x1+x−1−x21
综上，和函数为：
S ( x ) = { 1 2 x ln 1 + x 1 − x − 1 1 − x 2 , 0 < ∣ x ∣ < 1 , 0 , x = 0. \boxed{ S(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - \frac{1}{1-x^2}, & 0 < |x| < 1, \\[6pt] 0, & x = 0. \end{cases} } S(x)=⎩ ⎨ ⎧2x1ln1−x1+x−1−x21,0,0<∣x∣<1,x=0.
1.5
考察点：幂级数的逐项求导、常见幂级数和函数、数项级数的拆分求和
题目 ：求级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n ( n 2 − n + 1 ) \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(n^2 - n + 1) n=0∑∞2n(−1)n(n2−n+1) 的和。
解 ：
将原级数拆分为两部分：
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n ( n 2 − n + 1 ) = ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) ( − 1 2 ) n + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 2 ) n \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(n^2 - n + 1) = \sum_{n=0}^\infty n(n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n n=0∑∞2n(−1)n(n2−n+1)=n=0∑∞n(n−1)(−21)n+n=0∑∞(−21)n
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计算等比级数部分：
当 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1 时， ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x \displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} n=0∑∞xn=1−x1。令 x = − 1 2 x=-\frac{1}{2} x=−21，则：
∑ n = 0 ∞ ( − 1 2 ) n = 1 1 − ( − 1 2 ) = 2 3 \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2}{3} n=0∑∞(−21)n=1−(−21)1=32 -
计算含 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1) 的部分：
对 ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x \displaystyle \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} n=0∑∞xn=1−x1 逐项求导两次：
∑ n = 1 ∞ n x n − 1 = 1 ( 1 − x ) 2 , ∑ n = 2 ∞ n ( n − 1 ) x n − 2 = 2 ( 1 − x ) 3 \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \quad \sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3} n=1∑∞nxn−1=(1−x)21,n=2∑∞n(n−1)xn−2=(1−x)32两边同乘 x 2 x^2 x2，得：
∑ n = 2 ∞ n ( n − 1 ) x n = 2 x 2 ( 1 − x ) 3 \sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} n=2∑∞n(n−1)xn=(1−x)32x2注意到当 n = 0 , 1 n=0,1 n=0,1 时， n ( n − 1 ) = 0 n(n-1)=0 n(n−1)=0，故 ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) ( − 1 2 ) n = ∑ n = 2 ∞ n ( n − 1 ) ( − 1 2 ) n \displaystyle \sum_{n=0}^\infty n(n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=2}^\infty n(n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n n=0∑∞n(n−1)(−21)n=n=2∑∞n(n−1)(−21)n。令 x = − 1 2 x=-\frac{1}{2} x=−21，则：
∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) ( − 1 2 ) n = 2 ( − 1 2 ) 2 ( 1 − ( − 1 2 ) ) 3 = 1 2 ( 3 2 ) 3 = 4 27 \sum_{n=0}^\infty n(n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{2\left(-\frac{1}{2}\right)^2}{\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^3} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{4}{27} n=0∑∞n(n−1)(−21)n=(1−(−21))32(−21)2=(23)321=274 -
合并结果：
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n ( n 2 − n + 1 ) = 4 27 + 2 3 = 22 27 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(n^2 - n + 1) = \frac{4}{27} + \frac{2}{3} = \frac{22}{27} n=0∑∞2n(−1)n(n2−n+1)=274+32=2722
故 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n ( n 2 − n + 1 ) = 22 27 \boxed{\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}(n^2 - n + 1) = \frac{22}{27}} n=0∑∞2n(−1)n(n2−n+1)=2722。
1.6
考察点：部分分式分解、等比级数展开、幂级数收敛区间的交集
题目 ：将函数 f ( x ) = 1 x 2 − 3 x + 2 \displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} f(x)=x2−3x+21 展开成 x x x 的幂级数，并指出收敛区间。
解 ：
首先对函数进行部分分式分解：
f ( x ) = 1 x 2 − 3 x + 2 = 1 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1 1 − x − 1 2 − x f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x} f(x)=x2−3x+21=(x−1)(x−2)1=1−x1−2−x1
分别对两项进行幂级数展开：
- 对于 1 1 − x \displaystyle \frac{1}{1-x} 1−x1，当 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1 时， 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n 1−x1=n=0∑∞xn。
- 对于 1 2 − x = 1 2 ⋅ 1 1 − x 2 \displaystyle \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}} 2−x1=21⋅1−2x1，当 ∣ x 2 ∣ < 1 \left|\frac{x}{2}\right|<1 2x <1（即 ∣ x ∣ < 2 |x|<2 ∣x∣<2）时， 1 2 − x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ ( x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1 \displaystyle \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}} 2−x1=21n=0∑∞(2x)n=n=0∑∞2n+1xn。
将两式合并，得到：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n − ∑ n = 0 ∞ x n 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − 1 2 n + 1 ) x n f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n - \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)x^n f(x)=n=0∑∞xn−n=0∑∞2n+1xn=n=0∑∞(1−2n+11)xn
收敛区间为两个展开式收敛区间的交集，即 ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣x∣<1。
故 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − 1 2 n + 1 ) x n , x ∈ ( − 1 , 1 ) \boxed{\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)x^n,\quad x\in(-1,1)} f(x)=n=0∑∞(1−2n+11)xn,x∈(−1,1)。
1.7
考察点：常见幂级数和函数、三角函数的和角公式、幂级数的平移展开
题目 ：将幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 2 x 2 n − 1 \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!2^{2n-2}}x^{2n-1} n=1∑∞(2n−1)!22n−2(−1)n−1x2n−1 的和函数展开为 x − 1 x-1 x−1 的幂级数。
解：
-
先求原幂级数的和函数 ：
整理系数，原级数可改写为：
S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 2 x 2 n − 1 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ( x 2 ) 2 n − 1 S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!2^{2n-2}}x^{2n-1} = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n-1} S(x)=n=1∑∞(2n−1)!22n−2(−1)n−1x2n−1=2n=1∑∞(2n−1)!(−1)n−1(2x)2n−1利用正弦函数的幂级数展开 sin t = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! t 2 n − 1 \displaystyle \sin t = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}t^{2n-1} sint=n=1∑∞(2n−1)!(−1)n−1t2n−1（ t ∈ R t\in\mathbb{R} t∈R），令 t = x 2 t=\frac{x}{2} t=2x，则：
S ( x ) = 2 sin x 2 , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) S(x) = 2\sin\frac{x}{2}, \quad x\in(-\infty,+\infty) S(x)=2sin2x,x∈(−∞,+∞) -
将和函数展开为 x − 1 x-1 x−1 的幂级数 ：
令 t = x − 1 t = x-1 t=x−1，则 x = 1 + t x = 1 + t x=1+t，代入得：
S ( x ) = 2 sin ( 1 + t 2 ) = 2 sin ( 1 2 + t 2 ) S(x) = 2\sin\left(\frac{1 + t}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{1}{2} + \frac{t}{2}\right) S(x)=2sin(21+t)=2sin(21+2t)利用和角公式 sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得：
S ( x ) = 2 ( sin 1 2 cos t 2 + cos 1 2 sin t 2 ) S(x) = 2\left(\sin\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2} + \cos\frac{1}{2}\sin\frac{t}{2}\right) S(x)=2(sin21cos2t+cos21sin2t)其中 t = x − 1 t = x-1 t=x−1，再将 cos t 2 \cos\frac{t}{2} cos2t 和 sin t 2 \sin\frac{t}{2} sin2t 展开为 t t t 的幂级数：
cos t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( t 2 ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( x − 1 ) 2 n \cos\frac{t}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!2^{2n}}(x-1)^{2n} cos2t=n=0∑∞(2n)!(−1)n(2t)2n=n=0∑∞(2n)!22n(−1)n(x−1)2n
sin t 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ( t 2 ) 2 n − 1 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 1 ( x − 1 ) 2 n − 1 \sin\frac{t}{2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\left(\frac{t}{2}\right)^{2n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!2^{2n-1}}(x-1)^{2n-1} sin2t=n=1∑∞(2n−1)!(−1)n−1(2t)2n−1=n=1∑∞(2n−1)!22n−1(−1)n−1(x−1)2n−1 -
合并展开式 ：
代入和角公式的结果，化简系数得：
S ( x ) = 2 sin 1 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( x − 1 2 ) 2 n + 2 cos 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ( x − 1 2 ) 2 n − 1 S(x) = 2\sin\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2n} + 2\cos\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2n-1} S(x)=2sin21n=0∑∞(2n)!(−1)n(2x−1)2n+2cos21n=1∑∞(2n−1)!(−1)n−1(2x−1)2n−1展开区间为 x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in(-\infty,+\infty) x∈(−∞,+∞)。
故和函数展开为：
S ( x ) = 2 sin 1 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( x − 1 2 ) 2 n + 2 cos 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n − 1 ) ! ( x − 1 2 ) 2 n − 1 , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \boxed{ S(x) = 2\sin\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2n} + 2\cos\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2n-1},\ x\in(-\infty,+\infty) } S(x)=2sin21n=0∑∞(2n)!(−1)n(2x−1)2n+2cos21n=1∑∞(2n−1)!(−1)n−1(2x−1)2n−1, x∈(−∞,+∞)
后话
形式一致非常重要