文章目录
前链
前言
简单整理的一些课后题，应该是涵盖了各种题型，可作为考研数学一范围内微分方程知识点的简单回顾和复习。
题目梗概
2026.5.11
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微分方程1.1 一阶微分方程（变量替换）
求微分方程 y ′ + 1 = e − y sin x y'+1=e^{-y}\sin x y′+1=e−ysinx 的通解。
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微分方程1.2 二阶常系数非齐次线性微分方程（重根特解）
求微分方程 y ′ ′ − 4 y = e 2 x y'' - 4y = e^{2x} y′′−4y=e2x 的通解。
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微分方程1.3 欧拉方程的求解（变量替换法）
求方程 x 2 d 2 y d x 2 − 2 y = x 2 \displaystyle x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 2y = x^2 x2dx2d2y−2y=x2 的通解。
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微分方程1.4 二阶线性微分方程解的结构与方程构造
已知 y 1 = x e x + e − x y_1 = xe^x + e^{-x} y1=xex+e−x 是某二阶非齐次线性微分方程的特解， y 2 = ( x + 1 ) e x y_2 = (x+1)e^x y2=(x+1)ex 是对应二阶齐次线性微分方程的特解，求此微分方程。
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微分方程1.5 含二重积分的积分方程（极坐标+一阶线性微分方程）
设函数 f ( t ) f(t) f(t) 在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞) 上连续，且满足方程 f ( t ) = e 4 π t 2 + ∬ x 2 + y 2 ≤ 4 t 2 f ( 1 2 x 2 + y 2 ) d σ \displaystyle f(t) = e^{4\pi t^2} + \iint_{x^2+y^2 \leq 4t^2} f\left( \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} \right) d\sigma f(t)=e4πt2+∬x2+y2≤4t2f(21x2+y2 )dσ
求 f ( t ) f(t) f(t)。
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微分方程1.6 四阶常系数齐次线性微分方程（解的无穷小条件）
设四阶常系数齐次线性微分方程 y ( 4 ) − y ′ ′ ′ + y ′ ′ − y ′ = 0 y^{(4)} - y''' + y'' - y' = 0 y(4)−y′′′+y′′−y′=0，求在 x → 0 x \to 0 x→0 时是 x x x 的三阶无穷小的解。
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微分方程1.7 不显含x的二阶微分方程（几何应用）
微分方程0.3 可降阶二阶微分方程（不显含y型）那题带背景版本：
设函数 y ( x ) y(x) y(x) 具有二阶导数，且曲线 L : y = y ( x ) L: y=y(x) L:y=y(x) 与直线 y = x y=x y=x 相切于原点，记 α \alpha α 为曲线 L L L 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 处切线的倾角，若 d α d x = d y d x \frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx} dxdα=dxdy，求 y ( x ) y(x) y(x) 的表达式。
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微分方程1.8 不显含x的二阶微分方程（面积比几何应用）
微分方程0.4 可降阶二阶微分方程（不显含x型）那题带背景版本：
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 可导，且 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，曲线 y = f ( x ) ( x ≥ 0 ) y=f(x)\ (x \geq 0) y=f(x) (x≥0) 经过坐标原点 O O O，其上任意一点 M M M 处的切线与 x x x 轴交于 T T T，又 M P MP MP 垂直 x x x 轴于点 P P P，且由曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)、直线 M P MP MP 以及 x x x 轴所围图形的面积与 △ M T P \triangle MTP △MTP 的面积之比恒为 3 : 2 3:2 3:2，求曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的方程。
参考解析
1.1
考察点：一阶微分方程的变量替换法、一阶线性微分方程的通解公式
题目 ：求微分方程 y ′ + 1 = e − y sin x y'+1=e^{-y}\sin x y′+1=e−ysinx 的通解。
解 ：
方法一：变量替换法
令 u = x + y u = x + y u=x+y，则 d u d x = 1 + d y d x \displaystyle \frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} dxdu=1+dxdy，即 y ′ = d u d x − 1 \displaystyle y' = \frac{du}{dx} - 1 y′=dxdu−1。
代入原方程：
d u d x − 1 + 1 = e − ( u − x ) sin x \frac{du}{dx} - 1 + 1 = e^{-(u - x)}\sin x dxdu−1+1=e−(u−x)sinx
化简得：
d u d x = e x − u sin x \frac{du}{dx} = e^{x - u}\sin x dxdu=ex−usinx
分离变量得：
e u d u = e x sin x d x e^u du = e^x \sin x \, dx eudu=exsinxdx
两边积分：
∫ e u d u = ∫ e x sin x d x \int e^u du = \int e^x \sin x \, dx ∫eudu=∫exsinxdx
左边积分结果为 e u + C 1 e^u + C_1 eu+C1；右边利用分部积分：
∫ e x sin x d x = 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C 2 \int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C_2 ∫exsinxdx=21ex(sinx−cosx)+C2
合并常数，得：
e u = 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C e^u = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C eu=21ex(sinx−cosx)+C
代回 u = x + y u = x + y u=x+y，即 e x + y = 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C e^{x+y} = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C ex+y=21ex(sinx−cosx)+C，两边除以 e x e^x ex：
e y = 1 2 ( sin x − cos x ) + C e − x e^y = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x} ey=21(sinx−cosx)+Ce−x
方法二：转化为一阶线性方程
将原方程两边乘以 e y e^y ey，整理得：
e y y ′ + e y = sin x e^y y' + e^y = \sin x eyy′+ey=sinx
令 z = e y z = e^y z=ey，则 z ′ = e y y ′ z' = e^y y' z′=eyy′，方程化为一阶线性微分方程：
z ′ + z = sin x z' + z = \sin x z′+z=sinx
由一阶线性方程通解公式 z = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) \displaystyle z = e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right) z=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)，这里 P ( x ) = 1 , Q ( x ) = sin x P(x)=1, Q(x)=\sin x P(x)=1,Q(x)=sinx，得：
z = e − ∫ 1 d x ( ∫ sin x ⋅ e ∫ 1 d x d x + C ) = e − x ( ∫ e x sin x d x + C ) z = e^{-\int 1 dx}\left(\int \sin x \cdot e^{\int 1 dx} dx + C\right) = e^{-x}\left(\int e^x \sin x \, dx + C\right) z=e−∫1dx(∫sinx⋅e∫1dxdx+C)=e−x(∫exsinxdx+C)
同方法一， ∫ e x sin x d x = 1 2 e x ( sin x − cos x ) \displaystyle \int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) ∫exsinxdx=21ex(sinx−cosx)，代入得：
z = e − x ( 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C ) = 1 2 ( sin x − cos x ) + C e − x z = e^{-x}\left(\frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C\right) = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x} z=e−x(21ex(sinx−cosx)+C)=21(sinx−cosx)+Ce−x
代回 z = e y z=e^y z=ey，结果与方法一一致。
故通解为：
e y = 1 2 ( sin x − cos x ) + C e − x ( C 为任意常数 ) \boxed{e^y = \frac{1}{2}(\sin x - \cos x) + Ce^{-x} \quad (C \text{ 为任意常数})} ey=21(sinx−cosx)+Ce−x(C 为任意常数)
1.2
考察点：二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程法、非齐次方程特解的待定系数法（重根情形）、通解结构
题目 ：求微分方程 y ′ ′ − 4 y = e 2 x y'' - 4y = e^{2x} y′′−4y=e2x 的通解。
解：
-
求对应齐次方程的通解 ：
齐次方程为 y ′ ′ − 4 y = 0 y'' - 4y = 0 y′′−4y=0，特征方程为：
r 2 − 4 = 0 r^2 - 4 = 0 r2−4=0解得特征根 r 1 = 2 , r 2 = − 2 r_1=2, r_2=-2 r1=2,r2=−2，故齐次通解为：
y ~ = C 1 e − 2 x + C 2 e 2 x \widetilde{y} = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x} y =C1e−2x+C2e2x -
求非齐次方程的一个特解 ：
非齐次项为 f ( x ) = e 2 x f(x)=e^{2x} f(x)=e2x， λ = 2 \lambda=2 λ=2 是特征方程的单根，故设特解形式为 y ∗ = A x e 2 x y^* = A x e^{2x} y∗=Axe2x。
求导得：
( y ∗ ) ′ = A e 2 x + 2 A x e 2 x , ( y ∗ ) ′ ′ = 4 A e 2 x + 4 A x e 2 x (y^*)' = A e^{2x} + 2A x e^{2x}, \quad (y^*)'' = 4A e^{2x} + 4A x e^{2x} (y∗)′=Ae2x+2Axe2x,(y∗)′′=4Ae2x+4Axe2x代入原方程 y ′ ′ − 4 y = e 2 x y'' - 4y = e^{2x} y′′−4y=e2x：
( 4 A e 2 x + 4 A x e 2 x ) − 4 ( A x e 2 x ) = e 2 x (4A e^{2x} + 4A x e^{2x}) - 4(A x e^{2x}) = e^{2x} (4Ae2x+4Axe2x)−4(Axe2x)=e2x化简得 4 A e 2 x = e 2 x 4A e^{2x} = e^{2x} 4Ae2x=e2x，故 4 A = 1 ⟹ A = 1 4 4A=1 \implies A=\frac{1}{4} 4A=1⟹A=41，因此特解为：
y ∗ = 1 4 x e 2 x y^* = \frac{1}{4}x e^{2x} y∗=41xe2x -
非齐次方程的通解 ：
通解为齐次通解加非齐次特解：
y = y ~ + y ∗ = C 1 e − 2 x + C 2 e 2 x + 1 4 x e 2 x y = \widetilde{y} + y^* = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{4}x e^{2x} y=y +y∗=C1e−2x+C2e2x+41xe2x
故通解为：
y = C 1 e − 2 x + C 2 e 2 x + 1 4 x e 2 x ( C 1 , C 2 为任意常数 ) \boxed{y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x} + \frac{1}{4}x e^{2x} \quad (C_1,C_2 \text{ 为任意常数})} y=C1e−2x+C2e2x+41xe2x(C1,C2 为任意常数)
（补充：也可使用算子法求特解， y ∗ = x ⋅ 1 ( D 2 − 4 ) ′ ∣ D = 2 e 2 x = x ⋅ 1 2 D ∣ D = 2 e 2 x = x ⋅ 1 4 e 2 x y^* = x \cdot \frac{1}{(D^2-4)'}\bigg|{D=2} e^{2x} = x \cdot \frac{1}{2D}\bigg|{D=2} e^{2x} = x \cdot \frac{1}{4} e^{2x} y∗=x⋅(D2−4)′1 D=2e2x=x⋅2D1 D=2e2x=x⋅41e2x，结果一致）
1.3
考察点 ：欧拉方程的变量替换（ x = e t x=e^t x=et）、二阶常系数线性微分方程的求解、含绝对值的通解处理
题目 ：求方程 x 2 d 2 y d x 2 − 2 y = x 2 x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - 2y = x^2 x2dx2d2y−2y=x2 的通解。
解 ：
该方程为欧拉方程，令 x = e t x=e^t x=et（即 t = ln x t=\ln x t=lnx， x > 0 x>0 x>0），则由复合函数求导：
d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t , d 2 y d x 2 = 1 x 2 ( d 2 y d t 2 − d y d t ) \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right) dxdy=dtdy⋅dxdt=x1dtdy,dx2d2y=x21(dt2d2y−dtdy)
代入原方程：
x 2 ⋅ 1 x 2 ( d 2 y d t 2 − d y d t ) − 2 y = e 2 t x^2 \cdot \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right) - 2y = e^{2t} x2⋅x21(dt2d2y−dtdy)−2y=e2t
化简为常系数线性微分方程：
d 2 y d t 2 − d y d t − 2 y = e 2 t \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = e^{2t} dt2d2y−dtdy−2y=e2t
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求齐次通解 ：
齐次方程 d 2 y d t 2 − d y d t − 2 y = 0 \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = 0 dt2d2y−dtdy−2y=0，特征方程 r 2 − r − 2 = 0 r^2 - r - 2 = 0 r2−r−2=0，解得 r 1 = 2 , r 2 = − 1 r_1=2, r_2=-1 r1=2,r2=−1，故齐次通解为：
y ~ = C 1 e 2 t + C 2 e − t \widetilde{y} = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t} y =C1e2t+C2e−t -
求非齐次特解 ：
非齐次项为 e 2 t e^{2t} e2t， λ = 2 \lambda=2 λ=2 是特征方程的单根，设特解 y ∗ = A t e 2 t y^* = A t e^{2t} y∗=Ate2t，求导得：
( y ∗ ) ′ = A e 2 t + 2 A t e 2 t , ( y ∗ ) ′ ′ = 4 A e 2 t + 4 A t e 2 t (y^*)' = A e^{2t} + 2A t e^{2t}, \quad (y^*)'' = 4A e^{2t} + 4A t e^{2t} (y∗)′=Ae2t+2Ate2t,(y∗)′′=4Ae2t+4Ate2t代入方程 d 2 y d t 2 − d y d t − 2 y = e 2 t \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} - 2y = e^{2t} dt2d2y−dtdy−2y=e2t：
( 4 A e 2 t + 4 A t e 2 t ) − ( A e 2 t + 2 A t e 2 t ) − 2 A t e 2 t = e 2 t (4A e^{2t} + 4A t e^{2t}) - (A e^{2t} + 2A t e^{2t}) - 2A t e^{2t} = e^{2t} (4Ae2t+4Ate2t)−(Ae2t+2Ate2t)−2Ate2t=e2t化简得 3 A e 2 t = e 2 t 3A e^{2t} = e^{2t} 3Ae2t=e2t，故 A = 1 3 A=\frac{1}{3} A=31，特解为 y ∗ = 1 3 t e 2 t y^* = \frac{1}{3} t e^{2t} y∗=31te2t。
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x>0时的通解 ：
通解为 y = C 1 e 2 t + C 2 e − t + 1 3 t e 2 t y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t} + \frac{1}{3} t e^{2t} y=C1e2t+C2e−t+31te2t，代回 t = ln x t=\ln x t=lnx，即 e 2 t = x 2 , e − t = 1 x , t = ln x e^{2t}=x^2, e^{-t}=\frac{1}{x}, t=\ln x e2t=x2,e−t=x1,t=lnx，得：
y = C 1 x 2 + C 2 x + 1 3 x 2 ln x y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x} + \frac{1}{3}x^2 \ln x y=C1x2+xC2+31x2lnx -
x<0时的通解 ：
令 x = − u x=-u x=−u（ u > 0 u>0 u>0），则原方程变为 u 2 d 2 y d u 2 − 2 y = u 2 u^2 \frac{d^2y}{du^2} - 2y = u^2 u2du2d2y−2y=u2，与 x > 0 x>0 x>0 时形式一致，解得：
y = C 3 u 2 + C 4 u + 1 3 u 2 ln u = C 3 x 2 − C 4 x + 1 3 x 2 ln ( − x ) y = C_3 u^2 + \frac{C_4}{u} + \frac{1}{3}u^2 \ln u = C_3 x^2 - \frac{C_4}{x} + \frac{1}{3}x^2 \ln(-x) y=C3u2+uC4+31u2lnu=C3x2−xC4+31x2ln(−x) -
合并通解 ：
统一常数，将 ln x \ln x lnx 写为 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln∣x∣，得通解：
y = C 1 x 2 + C 2 ∣ x ∣ + 1 3 x 2 ln ∣ x ∣ y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{|x|} + \frac{1}{3}x^2 \ln|x| y=C1x2+∣x∣C2+31x2ln∣x∣
故通解为：
y = C 1 x 2 + C 2 ∣ x ∣ + 1 3 x 2 ln ∣ x ∣ ( C 1 , C 2 为任意常数 ) \boxed{y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{|x|} + \frac{1}{3}x^2 \ln|x| \quad (C_1,C_2 \text{ 为任意常数})} y=C1x2+∣x∣C2+31x2ln∣x∣(C1,C2 为任意常数)
1.4
考察点：二阶线性微分方程解的结构（齐次/非齐次解的关系）、特征方程与微分方程的对应、由特解反推微分方程
题目 ：已知 y 1 = x e x + e − x y_1 = xe^x + e^{-x} y1=xex+e−x 是某二阶非齐次线性微分方程的特解， y 2 = ( x + 1 ) e x y_2 = (x+1)e^x y2=(x+1)ex 是对应二阶齐次线性微分方程的特解，求此微分方程。
解：
-
分析齐次方程的通解 ：
已知 y 2 = ( x + 1 ) e x = x e x + e x y_2=(x+1)e^x = xe^x + e^x y2=(x+1)ex=xex+ex 是齐次方程的特解，说明 e x e^x ex 和 x e x xe^x xex 是齐次方程的两个线性无关解，故齐次方程的特征根为 r = 1 r=1 r=1（二重根），对应特征方程为：
( r − 1 ) 2 = r 2 − 2 r + 1 = 0 (r-1)^2 = r^2 - 2r + 1 = 0 (r−1)2=r2−2r+1=0因此齐次方程为：
y ′ ′ − 2 y ′ + y = 0 y'' - 2y' + y = 0 y′′−2y′+y=0 -
求非齐次方程的非齐次项 ：
非齐次方程的形式为 y ′ ′ − 2 y ′ + y = f ( x ) y'' - 2y' + y = f(x) y′′−2y′+y=f(x)，已知 y 1 = x e x + e − x y_1=xe^x + e^{-x} y1=xex+e−x 是其特解，将 y 1 y_1 y1 代入方程：
先求导：
y 1 ′ = e x + x e x − e − x , y 1 ′ ′ = 2 e x + x e x + e − x y_1' = e^x + xe^x - e^{-x}, \quad y_1'' = 2e^x + xe^x + e^{-x} y1′=ex+xex−e−x,y1′′=2ex+xex+e−x代入 y ′ ′ − 2 y ′ + y y'' - 2y' + y y′′−2y′+y：
( 2 e x + x e x + e − x ) − 2 ( e x + x e x − e − x ) + ( x e x + e − x ) (2e^x + xe^x + e^{-x}) - 2(e^x + xe^x - e^{-x}) + (xe^x + e^{-x}) (2ex+xex+e−x)−2(ex+xex−e−x)+(xex+e−x)化简：
2 e x + x e x + e − x − 2 e x − 2 x e x + 2 e − x + x e x + e − x = 4 e − x 2e^x + xe^x + e^{-x} - 2e^x - 2xe^x + 2e^{-x} + xe^x + e^{-x} = 4e^{-x} 2ex+xex+e−x−2ex−2xex+2e−x+xex+e−x=4e−x故非齐次项 f ( x ) = 4 e − x f(x)=4e^{-x} f(x)=4e−x，原方程为：
y ′ ′ − 2 y ′ + y = 4 e − x y'' - 2y' + y = 4e^{-x} y′′−2y′+y=4e−x -
验证通解结构 ：
非齐次方程的通解为 y = ( C 1 + C 2 x ) e x + e − x y=(C_1 + C_2 x)e^x + e^{-x} y=(C1+C2x)ex+e−x，取 C 1 = 0 , C 2 = 1 C_1=0,C_2=1 C1=0,C2=1 得 y = x e x + e − x y=xe^x + e^{-x} y=xex+e−x（即 y 1 y_1 y1），符合题设；齐次解 ( x + 1 ) e x (x+1)e^x (x+1)ex 对应 C 1 = 1 , C 2 = 1 C_1=1,C_2=1 C1=1,C2=1，也符合题设。
故所求微分方程为：
y ′ ′ − 2 y ′ + y = 4 e − x \boxed{y'' - 2y' + y = 4e^{-x}} y′′−2y′+y=4e−x
1.5
考察点：二重积分的极坐标变换、变上限积分求导、一阶线性非齐次微分方程的求解
题目 ：设函数 f ( t ) f(t) f(t) 在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞) 上连续，且满足方程
f ( t ) = e 4 π t 2 + ∬ x 2 + y 2 ≤ 4 t 2 f ( 1 2 x 2 + y 2 ) d σ f(t) = e^{4\pi t^2} + \iint_{x^2+y^2 \leq 4t^2} f\left( \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} \right) d\sigma f(t)=e4πt2+∬x2+y2≤4t2f(21x2+y2 )dσ
求 f ( t ) f(t) f(t)。
解：
-
二重积分的极坐标变换 ：
令 x = r cos θ , y = r sin θ x = r\cos\theta, y = r\sin\theta x=rcosθ,y=rsinθ，则积分区域 x 2 + y 2 ≤ 4 t 2 x^2+y^2 \leq 4t^2 x2+y2≤4t2 对应 0 ≤ r ≤ 2 t , 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 \leq r \leq 2t, 0 \leq \theta \leq 2\pi 0≤r≤2t,0≤θ≤2π，且 d σ = r d r d θ d\sigma = r dr d\theta dσ=rdrdθ。
被积函数中 1 2 x 2 + y 2 = r 2 \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} = \frac{r}{2} 21x2+y2 =2r，故：
∬ x 2 + y 2 ≤ 4 t 2 f ( 1 2 x 2 + y 2 ) d σ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 t f ( r 2 ) r d r \iint_{x^2+y^2 \leq 4t^2} f\left( \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} \right) d\sigma = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{2t} f\left( \frac{r}{2} \right) r dr ∬x2+y2≤4t2f(21x2+y2 )dσ=∫02πdθ∫02tf(2r)rdr计算外层积分： ∫ 0 2 π d θ = 2 π \displaystyle \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi ∫02πdθ=2π，因此：
∬ ⋯ ⋯ d σ = 2 π ∫ 0 2 t r f ( r 2 ) d r \iint_{\cdots} \cdots d\sigma = 2\pi \int_0^{2t} r f\left( \frac{r}{2} \right) dr ∬⋯⋯dσ=2π∫02trf(2r)dr令 u = r 2 u = \frac{r}{2} u=2r（即 r = 2 u r=2u r=2u， d r = 2 d u dr=2du dr=2du），当 r = 0 r=0 r=0 时 u = 0 u=0 u=0， r = 2 t r=2t r=2t 时 u = t u=t u=t，则：
2 π ∫ 0 t 2 u f ( u ) ⋅ 2 d u = 8 π ∫ 0 t u f ( u ) d u 2\pi \int_0^{t} 2u f(u) \cdot 2 du = 8\pi \int_0^{t} u f(u) du 2π∫0t2uf(u)⋅2du=8π∫0tuf(u)du因此原方程化为：
f ( t ) = e 4 π t 2 + 8 π ∫ 0 t u f ( u ) d u f(t) = e^{4\pi t^2} + 8\pi \int_0^{t} u f(u) du f(t)=e4πt2+8π∫0tuf(u)du -
转化为一阶线性微分方程 ：
两边对 t t t 求导（利用变上限积分求导法则）：
f ′ ( t ) = 8 π t e 4 π t 2 + 8 π t f ( t ) f'(t) = 8\pi t e^{4\pi t^2} + 8\pi t f(t) f′(t)=8πte4πt2+8πtf(t)整理为标准一阶线性非齐次方程形式：
f ′ ( t ) − 8 π t f ( t ) = 8 π t e 4 π t 2 f'(t) - 8\pi t f(t) = 8\pi t e^{4\pi t^2} f′(t)−8πtf(t)=8πte4πt2同时，令 t = 0 t=0 t=0 代入原方程，得初始条件：
f ( 0 ) = e 0 + 0 = 1 f(0) = e^{0} + 0 = 1 f(0)=e0+0=1 -
求解一阶线性方程 ：
一阶线性方程 y ′ + P ( t ) y = Q ( t ) y' + P(t)y = Q(t) y′+P(t)y=Q(t) 的通解公式为：
y = e − ∫ P ( t ) d t ( ∫ Q ( t ) e ∫ P ( t ) d t d t + C ) y = e^{-\int P(t)dt} \left( \int Q(t) e^{\int P(t)dt} dt + C \right) y=e−∫P(t)dt(∫Q(t)e∫P(t)dtdt+C)此处 P ( t ) = − 8 π t P(t) = -8\pi t P(t)=−8πt， Q ( t ) = 8 π t e 4 π t 2 Q(t) = 8\pi t e^{4\pi t^2} Q(t)=8πte4πt2，先计算积分因子：
e ∫ − 8 π t d t = e − 4 π t 2 , e − ∫ − 8 π t d t = e 4 π t 2 e^{\int -8\pi t dt} = e^{-4\pi t^2}, \quad e^{-\int -8\pi t dt} = e^{4\pi t^2} e∫−8πtdt=e−4πt2,e−∫−8πtdt=e4πt2代入公式得：
f ( t ) = e 4 π t 2 ( ∫ 8 π t e 4 π t 2 ⋅ e − 4 π t 2 d t + C ) = e 4 π t 2 ( ∫ 8 π t d t + C ) f(t) = e^{4\pi t^2} \left( \int 8\pi t e^{4\pi t^2} \cdot e^{-4\pi t^2} dt + C \right) = e^{4\pi t^2} \left( \int 8\pi t dt + C \right) f(t)=e4πt2(∫8πte4πt2⋅e−4πt2dt+C)=e4πt2(∫8πtdt+C)计算积分 ∫ 8 π t d t = 4 π t 2 + C 1 \displaystyle \int 8\pi t dt = 4\pi t^2 + C_1 ∫8πtdt=4πt2+C1，合并常数得：
f ( t ) = e 4 π t 2 ( 4 π t 2 + C ) f(t) = e^{4\pi t^2} (4\pi t^2 + C) f(t)=e4πt2(4πt2+C)代入初始条件 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f(0)=1： 1 = e 0 ( 0 + C ) ⟹ C = 1 1 = e^{0}(0 + C) \implies C=1 1=e0(0+C)⟹C=1。
故所求函数为：
f ( t ) = ( 4 π t 2 + 1 ) e 4 π t 2 \boxed{f(t) = (4\pi t^2 + 1)e^{4\pi t^2}} f(t)=(4πt2+1)e4πt2
1.6
考察点：高阶常系数齐次线性微分方程的特征方程法、通解结构、泰勒展开与无穷小阶数分析
题目 ：设四阶常系数齐次线性微分方程 y ( 4 ) − y ′ ′ ′ + y ′ ′ − y ′ = 0 y^{(4)} - y''' + y'' - y' = 0 y(4)−y′′′+y′′−y′=0，求在 x → 0 x \to 0 x→0 时是 x x x 的三阶无穷小的解。
解：
-
求特征方程与通解 ：
微分方程为 y ( 4 ) − y ′ ′ ′ + y ′ ′ − y ′ = 0 y^{(4)} - y''' + y'' - y' = 0 y(4)−y′′′+y′′−y′=0，其特征方程为：
r 4 − r 3 + r 2 − r = 0 r^4 - r^3 + r^2 - r = 0 r4−r3+r2−r=0因式分解： r ( r 3 − r 2 + r − 1 ) = r [ r 2 ( r − 1 ) + 1 ( r − 1 ) ] = r ( r − 1 ) ( r 2 + 1 ) = 0 r(r^3 - r^2 + r - 1) = r\left[ r^2(r-1) + 1(r-1) \right] = r(r-1)(r^2 + 1) = 0 r(r3−r2+r−1)=r[r2(r−1)+1(r−1)]=r(r−1)(r2+1)=0，解得特征根：
r 1 = 0 , r 2 = 1 , r 3 , 4 = ± i r_1=0,\ r_2=1,\ r_{3,4}=\pm i r1=0, r2=1, r3,4=±i因此方程的通解为：
y = C 1 + C 2 e x + C 3 cos x + C 4 sin x y = C_1 + C_2 e^x + C_3 \cos x + C_4 \sin x y=C1+C2ex+C3cosx+C4sinx其中 C 1 , C 2 , C 3 , C 4 C_1,C_2,C_3,C_4 C1,C2,C3,C4 为任意常数。
-
泰勒展开与无穷小阶数分析 ：
将通解中的各项在 x = 0 x=0 x=0 处泰勒展开：
- e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)
- cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)
- sin x = x − x 3 3 ! + o ( x 3 ) \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) sinx=x−3!x3+o(x3)
代入通解并整理按 x x x 的幂次展开：
y = C 1 + C 2 ( 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + o ( x 3 ) ) + C 3 ( 1 − x 2 2 + o ( x 3 ) ) + C 4 ( x − x 3 6 + o ( x 3 ) ) = ( C 1 + C 2 + C 3 ) + ( C 2 + C 4 ) x + ( C 2 2 − C 3 2 ) x 2 + ( C 2 6 − C 4 6 ) x 3 + o ( x 3 ) \begin{aligned} y &= C_1 + C_2\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) + C_3\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) + C_4\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) \\ &= (C_1 + C_2 + C_3) + (C_2 + C_4)x + \left( \frac{C_2}{2} - \frac{C_3}{2} \right)x^2 + \left( \frac{C_2}{6} - \frac{C_4}{6} \right)x^3 + o(x^3) \end{aligned} y=C1+C2(1+x+2x2+6x3+o(x3))+C3(1−2x2+o(x3))+C4(x−6x3+o(x3))=(C1+C2+C3)+(C2+C4)x+(2C2−2C3)x2+(6C2−6C4)x3+o(x3)
要求 y y y 是 x → 0 x \to 0 x→0 时的三阶无穷小，即： - 常数项系数： C 1 + C 2 + C 3 = 0 C_1 + C_2 + C_3 = 0 C1+C2+C3=0
- 一次项系数： C 2 + C 4 = 0 C_2 + C_4 = 0 C2+C4=0
- 二次项系数： C 2 2 − C 3 2 = 0 \frac{C_2}{2} - \frac{C_3}{2} = 0 2C2−2C3=0
- 三次项系数： C 2 6 − C 4 6 ≠ 0 \frac{C_2}{6} - \frac{C_4}{6} \neq 0 6C2−6C4=0（保证是三阶无穷小，而非更高阶）
-
求解常数关系 ：
由二次项系数条件： C 2 2 − C 3 2 = 0 ⟹ C 3 = C 2 \frac{C_2}{2} - \frac{C_3}{2} = 0 \implies C_3 = C_2 2C2−2C3=0⟹C3=C2
由一次项系数条件： C 2 + C 4 = 0 ⟹ C 4 = − C 2 C_2 + C_4 = 0 \implies C_4 = -C_2 C2+C4=0⟹C4=−C2
代入常数项条件： C 1 + C 2 + C 2 = 0 ⟹ C 1 = − 2 C 2 C_1 + C_2 + C_2 = 0 \implies C_1 = -2C_2 C1+C2+C2=0⟹C1=−2C2
代入三次项系数： C 2 6 − ( − C 2 ) 6 = 2 C 2 6 = C 2 3 \frac{C_2}{6} - \frac{(-C_2)}{6} = \frac{2C_2}{6} = \frac{C_2}{3} 6C2−6(−C2)=62C2=3C2，要求 C 2 3 ≠ 0 \frac{C_2}{3} \neq 0 3C2=0，即 C 2 ≠ 0 C_2 \neq 0 C2=0。
令 C 2 = − C C_2 = -C C2=−C（ C ≠ 0 C \neq 0 C=0，为任意常数），则 C 1 = 2 C , C 3 = − C , C 4 = C C_1=2C,\ C_3=-C,\ C_4=C C1=2C, C3=−C, C4=C，代入通解得：
y = 2 C − C e x − C cos x + C sin x = C ( 2 − e x − cos x + sin x ) y = 2C - C e^x - C \cos x + C \sin x = C\left(2 - e^x - \cos x + \sin x\right) y=2C−Cex−Ccosx+Csinx=C(2−ex−cosx+sinx)
故满足条件的解为：
y = C ( sin x − cos x − e x + 2 ) ( C 为非零任意常数 ) \boxed{y = C\left( \sin x - \cos x - e^x + 2 \right) \quad (C \text{ 为非零任意常数})} y=C(sinx−cosx−ex+2)(C 为非零任意常数)
1.7
考察点：导数的几何意义（切线倾角）、反三角函数求导、可降阶二阶微分方程（不显含x）的求解
题目 ：设函数 y ( x ) y(x) y(x) 具有二阶导数，且曲线 L : y = y ( x ) L: y=y(x) L:y=y(x) 与直线 y = x y=x y=x 相切于原点，记 α \alpha α 为曲线 L L L 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 处切线的倾角，若 d α d x = d y d x \frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx} dxdα=dxdy，求 y ( x ) y(x) y(x) 的表达式。
解 ：
建立微分方程
由导数的几何意义，切线斜率 y ′ = tan α y' = \tan\alpha y′=tanα，因此 α = arctan y ′ \alpha = \arctan y' α=arctany′。
对 x x x 求导（利用复合函数求导法则）：
d α d x = d d x ( arctan y ′ ) = 1 1 + ( y ′ ) 2 ⋅ y ′ ′ \frac{d\alpha}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \arctan y' \right) = \frac{1}{1+(y')^2} \cdot y'' dxdα=dxd(arctany′)=1+(y′)21⋅y′′
题设条件为 d α d x = d y d x = y ′ \frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx} = y' dxdα=dxdy=y′，因此：
y ′ ′ 1 + ( y ′ ) 2 = y ′ \frac{y''}{1+(y')^2} = y' 1+(y′)2y′′=y′
整理得微分方程
y ′ ′ = y ′ [ 1 + ( y ′ ) 2 ] y'' = y' \left[ 1 + (y')^2 \right] y′′=y′[1+(y′)2]
故所求函数为：
y = arcsin ( e x 2 ) − π 4 \boxed{y = \arcsin\left( \frac{e^x}{\sqrt{2}} \right) - \frac{\pi}{4}} y=arcsin(2 ex)−4π
1.8
考察点：导数的几何意义（切线方程）、定积分求面积、可降阶二阶微分方程（不显含x）的求解
题目 ：设函数 f ( x ) f(x) f(x) 可导，且 f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f′(x)>0，曲线 y = f ( x ) ( x ≥ 0 ) y=f(x)\ (x \geq 0) y=f(x) (x≥0) 经过坐标原点 O O O，其上任意一点 M M M 处的切线与 x x x 轴交于 T T T，又 M P MP MP 垂直 x x x 轴于点 P P P，且由曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)、直线 M P MP MP 以及 x x x 轴所围图形的面积与 △ M T P \triangle MTP △MTP 的面积之比恒为 3 : 2 3:2 3:2，求曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 的方程。
解：
-
几何量分析与方程建立 ：
设点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)，则 M P MP MP 垂直x轴，故 P ( x , 0 ) P(x,0) P(x,0)。
曲线在 M M M 处的切线方程为： Y − y = y ′ ( X − x ) Y - y = y'(X - x) Y−y=y′(X−x)，令 Y = 0 Y=0 Y=0 得切线与x轴交点 T T T 的横坐标：
0 − y = y ′ ( X T − x ) ⟹ X T = x − y y ′ 0 - y = y'(X_T - x) \implies X_T = x - \frac{y}{y'} 0−y=y′(XT−x)⟹XT=x−y′y因此 T ( x − y y ′ , 0 ) T\left( x - \frac{y}{y'}, 0 \right) T(x−y′y,0)， T P TP TP 的长度为 x − X T = y y ′ x - X_T = \frac{y}{y'} x−XT=y′y。
由曲线、 M P MP MP、x轴围成的图形面积为： S 1 = ∫ 0 x y ( t ) d t S_1 = \int_0^x y(t) dt S1=∫0xy(t)dt；
△ M T P \triangle MTP △MTP 的面积为： S 2 = 1 2 ⋅ ∣ T P ∣ ⋅ ∣ M P ∣ = 1 2 ⋅ y y ′ ⋅ y = y 2 2 y ′ S_2 = \frac{1}{2} \cdot |TP| \cdot |MP| = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{y'} \cdot y = \frac{y^2}{2y'} S2=21⋅∣TP∣⋅∣MP∣=21⋅y′y⋅y=2y′y2。题设 S 1 S 2 = 3 2 \frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2} S2S1=23，即：
∫ 0 x y ( t ) d t y 2 2 y ′ = 3 2 \frac{\int_0^x y(t) dt}{\frac{y^2}{2y'}} = \frac{3}{2} 2y′y2∫0xy(t)dt=23整理得：
2 y ′ y 2 ∫ 0 x y ( t ) d t = 3 2 ⟹ 4 y ′ ∫ 0 x y ( t ) d t = 3 y 2 \frac{2y'}{y^2} \int_0^x y(t) dt = \frac{3}{2} \implies 4y' \int_0^x y(t) dt = 3y^2 y22y′∫0xy(t)dt=23⟹4y′∫0xy(t)dt=3y2 -
转化为微分方程 ：
两边对 x x x 求导（利用乘积法则与变上限积分求导）：
4 [ y ′ ′ ∫ 0 x y ( t ) d t + y ′ ⋅ y ] = 6 y y ′ 4\left[ y'' \int_0^x y(t) dt + y' \cdot y \right] = 6y y' 4[y′′∫0xy(t)dt+y′⋅y]=6yy′由原方程知 4 ∫ 0 x y ( t ) d t = 3 y 2 y ′ 4\int_0^x y(t) dt = \frac{3y^2}{y'} 4∫0xy(t)dt=y′3y2，代入上式：
y ′ ′ ⋅ 3 y 2 y ′ + 4 y y ′ = 6 y y ′ y'' \cdot \frac{3y^2}{y'} + 4y y' = 6y y' y′′⋅y′3y2+4yy′=6yy′整理得：
3 y 2 y ′ ′ y ′ = 2 y y ′ \frac{3y^2 y''}{y'} = 2y y' y′3y2y′′=2yy′因 y > 0 y>0 y>0（ f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f′(x)>0 且过原点， x ≥ 0 x\geq0 x≥0 时 y ≥ 0 y\geq0 y≥0，非零解 y > 0 y>0 y>0），两边除以 y y y：
3 y y ′ ′ y ′ = 2 y ′ ⟹ 3 y y ′ ′ = 2 ( y ′ ) 2 \frac{3y y''}{y'} = 2y' \implies 3y y'' = 2(y')^2 y′3yy′′=2y′⟹3yy′′=2(y′)2
故曲线方程为：
y = C x 3 ( C > 0 为任意常数 ) \boxed{y = C x^3 \quad (C > 0 \text{ 为任意常数})} y=Cx3(C>0 为任意常数)
后话
某种程度上似乎和1000题里的基础篇难度差不多甚至没低多少？不过1000题里微分方程的基础篇出得确实不是很难，但是综合性还是挺不错的，下一期整理一下。