常用算法里的细节

👨‍💻 关于作者：会编程的土豆

"不是因为看见希望才坚持，而是坚持了才看见希望。"

你好，我是会编程的土豆，一名热爱后端技术的Java学习者。

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《数据结构与算法》😊😊😊
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LCS模版（最长公共子序列（Longest Common Subsequence））

仅求长度

若字符相等：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
若字符不等：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

cpp 复制代码

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    int n = text1.size(), m = text2.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

这里注意因为i，j记录的是前s的i个字符和t的前j个字符中的公共子序列，由于字符下标是从0开始的，所以实际上i只记录到下标为i-1的数，j也是同理；所以if对比的时候记得是对比s[i-1]==t[j-1];记得要减一；

回溯具体子序列

在 DP 填表完成后，从右下角 (n, m) 倒推回去

cpp 复制代码

string getLCS(string text1, string text2) {
    int n = text1.size(), m = text2.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    
    // 1. 填表
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            if (text1[i - 1] == text2[j - 1])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    
    // 2. 回溯构建 LCS 字符串
    string lcs;
    int i = n, j = m;
    while (i > 0 && j > 0) {
        // 如果字符相等，它是LCS的一部分，往左上移动
        if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
            lcs.push_back(text1[i - 1]);
            i--;
            j--;
        } 
        // 如果不相等，走向数值较大的那个方向
        else if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
            i--;
        } else {
            j--;
        }
    }
    
    reverse(lcs.begin(), lcs.end());
    return lcs;
}

LIS（最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS））

这个是求一个字符串中或者数组中最长上升的那个子序列；

元素可以一样的用upper_bound

cpp 复制代码

vector<int>tail;
for (int i = 0; i < arr.size(); i++)
{
	int x = arr[i];
	auto it = upper_bound(tail.begin(), tail.end(), x);
	if (it == tail.end())
	{
		tail.push_back(x);
	}
	else *it = x;
}
cout << tail.size() << endl;

这个是求arr数组的最长可以一样元素的最长子序列；

元素不可以一样的用lower_bound

cpp 复制代码

vector<int>tailb;
for (int i = 0; i < arr.size(); i++)
{
	int x = arr[i];
	auto it = lower_bound(tailb.begin(), tailb.end(), x);
	if (it == tailb.end())
	{
		tailb.push_back(x);
	}
	else *it = x;
}
cout << tailb.size() << endl;

这个是求arr数组的最长子序列，必须严格递增；

你想要的子序列类型	应该用的函数	原因
严格递增（不能相等）	`lower_bound`	找第一个 `>= x` 的位置，会替换掉相等的元素，阻止重复
非严格递增（允许相等）	`upper_bound`	找第一个 `> x` 的位置，保留相等的元素，允许重复

注意里面的操作都是关于tail数组的操作，tail数组就是记录最长子序列元素的数组，而且是保证里面的每个值尽可能小；