算法中的二分法（二分查找）详解及示例

一、什么是算法中的二分法？

二分法（Binary Search） ，又称折半查找，是一种在有序数组中查找某个目标值的高效查找算法。其核心思想是：每次将查找范围分成两半，排除不可能包含目标值的一半，仅在可能包含目标值的另一半继续查找，重复此过程，直到找到目标值或确定目标值不存在。

1. 二分查找的必备条件

数组必须是有序的（升序或降序均可，常用升序）；

数组支持随机访问（如数组、vector 等数据结构，链表不适用，因为无法快速定位中间元素）。

2. 二分查找的优势（效率对比）

与普通遍历查找（线性查找）相比，二分查找的效率优势极其明显：

线性查找 ：最坏情况下需要查找 n 次（n 为数组长度）；

二分查找：最坏情况下仅需要查找log₂(n) 次。

示例：当数组长度 n = 1000000（100万）时，线性查找最多需要100万次，而二分查找最多仅需约20次，效率差距极大。

3. 二分查找的基本步骤（升序数组通用模板）

定义查找范围的左边界：left = 0（数组起始下标）；

定义查找范围的右边界：right = 数组长度 - 1（数组末尾下标）；

设置循环条件 ：left ≤ right （当左边界不大于右边界时，说明还有查找范围）；

计算查找范围的中点：mid = (left + right) / 2（通过中点分割范围）；

比较中点元素 arr $mid$ 与目标值 target：

若 arr $mid$ == target：找到目标值，返回当前中点下标；

若arr $mid$ < target：目标值在中点右侧，更新左边界 left = mid + 1；

若 arr $mid$ > target：目标值在中点左侧，更新右边界 right = mid - 1。

循环结束后，若未找到目标值，返回 -1（表示目标值不存在于数组中）。

二、示例1：基础二分查找（查找目标值的下标）

1. 题目描述

给定升序数组 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ ，查找目标值 11，找到则返回其下标，找不到则返回 -1。

2. C语言代码（可直接运行）

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| c #include <stdio.h> // 二分查找函数：arr=目标数组，len=数组长度，target=要查找的目标值 int binarySearch(int arr\[\], int len, int target) { int left = 0; // 左边界 int right = len - 1; // 右边界 // 循环查找，直到左边界超过右边界 while (left <= right) { int mid = (left + right) / 2; // 计算中点下标 if (arr $mid$ == target) { return mid; // 找到目标值，返回下标 } else if (arr $mid$ < target) { left = mid + 1; // 目标在右侧，更新左边界 } else { right = mid - 1; // 目标在左侧，更新右边界 } } return -1;// 循环结束未找到，返回-1 } int main() { int arr\[\] = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}; // 有序数组 int len = sizeof(arr) / sizeof(arr $0$ ); // 计算数组长度 int target = 11; // 目标值 int res = binarySearch(arr, len, target); // 调用二分查找函数 // 输出结果 if (res != -1) { printf("找到数字 %d，下标是 %d\n", target, res); } else { printf("未找到目标值 %d\n", target); } return 0; } |

3. 运行结果

找到数字 11，下标是 5

4. 代码说明

该代码实现了最基础的二分查找逻辑，严格遵循"折半-比较-缩范围"的核心，适合查找数组中是否存在某个目标值，并返回其具体位置。

三、示例2：二分查找变种（查找第一个 ≥ 目标值的位置）

实际编程中，除了查找"等于"目标值的位置，更常用的是二分查找的变种，例如查找"第一个大于等于目标值的位置 "（即 lower_bound），适用于插入排序 、区间查找等场景。

1. 题目描述

给定升序数组 $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ，查找第一个大于等于 7 的元素，返回其下标。（预期答案：下标 3，对应元素 8）

2. C语言代码（可直接运行）

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| c #include <stdio.h> // 查找第一个大于等于target的位置：arr=目标数组，len=数组长度，target=目标值 int lowerBound(int arr\[\], int len, int target) { int left = 0; // 左边界 int right = len - 1; // 右边界 int ans = len; // 初始化为数组长度（越界），表示未找到符合条件的元素 while (left <= right) { int mid = (left + right) / 2; // 计算中点下标 if (arr $mid$ >= target) { ans = mid; // 记录当前符合条件的位置，可能是第一个 right = mid - 1;// 继续往左查找，寻找更早（更小下标）的符合条件的位置 } else { left = mid + 1; // 当前元素小于目标值，去右侧查找 } } return ans;// 返回第一个≥target的位置，若返回len则表示所有元素都小于target } int main() { int arr\[\] = {2, 4, 6, 8, 10, 12};// 有序数组 int len = sizeof(arr) / sizeof(arr $0$ ); // 计算数组长度 int target = 7; // 目标值 int pos = lowerBound(arr, len, target); // 调用查找函数 // 输出结果 printf("第一个大于等于 %d 的位置下标是：%d\n", target, pos); return 0; } |

3. 运行结果

第一个大于等于 7 的位置下标是：3

4. 代码说明

该变种的核心的是"记录符合条件的位置，并继续向左缩小范围"，确保找到的是"第一个"符合条件的元素。若数组中所有元素都小于目标值，最终返回数组长度（越界），可用于判断插入位置。

四、核心总结

二分查找的核心：有序数组 + 每次折半缩小范围；

时间复杂度：O(log n)（高效的关键，n 为数组长度）；

两种常用模板：

基础模板：查找"等于"目标值的下标，找不到返回 -1；

变种模板（lower_bound）：查找"第一个 ≥ 目标值"的下标，适用于插入、区间查询等场景。