信息学奥赛一本通 4131：【GESP2506六级】学习小组 | 洛谷 P13015 [GESP202506 六级] 学习小组

【题目链接】

ybt 4131：【GESP2506六级】学习小组
洛谷 P13015 GESP202506 六级 学习小组

【题目难度】：D

【题目考点】

1. 动态规划：背包问题

【解题思路】

该问题可以近似看作"物品重量"为小组人数 k k k，"物品价值"为讨论积极程度 a k a_k ak的完全背包问题。

状态定义

• 阶段：i个人
• 决策：将几个人分成一个小组
• 策略：分组方案
• 策略集合： i i i个人的所有分组方案
• 条件：各分组讨论积极程度加和最大
• 统计量：讨论积极程度

状态定义 d p i dp_i dpi： i i i个人的所有分组方案中，讨论积极度加和最大的方案的讨论积极度。

初始状态：0个人的讨论积极度为0，所以 d p 0 = 0 dp_0=0 dp0=0

状态转移方程

• 策略集合： i i i个人的所有分组方案
• 分割策略集合：根据最后一个分组的人数分割策略集合

如果最后一个分组有 j j j人，则该组的讨论积极度为 a j a_j aj。 j j j最小为1，一共有 i i i人所以 j j j最大为 i i i，因此 1 ≤ j ≤ i 1\le j \le i 1≤j≤i。那么剩下 i − j i-j i−j人进行分组得到的最大讨论积极度为 d p i − j dp_{i-j} dpi−j。将二者加和得到 d p i − j + a j dp_{i-j}+a_j dpi−j+aj，即为最后一个分组有 j j j人时能获得的最大讨论积极度。对所有 j j j的取值，求 d p i − j + a j dp_{i-j}+a_j dpi−j+aj能取到的最大值，即为 i i i个人进行分组能得到的最大讨论积极度。

状态转移方程为 d p i = max ⁡ { d p i − j + a j } , 1 ≤ j ≤ i dp_i = \max\{dp_{i-j}+a_j\}, 1\le j\le i dpi=max{dpi−j+aj},1≤j≤i

本题结果为：对 n n n个人进行分组，得到的最大讨论积极度 d p n dp_n dpn

时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

【题解代码】

解法1：动态规划

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int n, a[N], dp[N];//dp[i]：i个人能获得的最大讨论积极度 
int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		cin >> a[i];
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= i; ++j)
			dp[i] = max(dp[i], dp[i-j]+a[j]);
	cout << dp[n];  
	return 0;
}