本文涉及知识点
排序
P6149 [USACO20FEB] Triangles S
题目描述
Farmer John 想要给他的奶牛们建造一个三角形牧场。
有 N N N（ 3 ≤ N ≤ 10 5 3\leq N\leq 10^5 3≤N≤105）个栅栏柱子分别位于农场的二维平面上不同的点 ( X 1 , Y 1 ) ... ( X N , Y N ) (X_1,Y_1)\ldots (X_N,Y_N) (X1,Y1)...(XN,YN)。他可以选择其中三个点组成三角形牧场，只要三角形有一条边与 x x x 轴平行，且有另一条边与 y y y 轴平行。
FJ 可以组成的所有可能的牧场的面积之和等于多少？
输入格式
第一行包含 N N N。
以下 N N N 行每行包含两个整数 X i X_i Xi 和 Y i Y_i Yi，均在范围 − 10 4 ... 10 4 −10^4\ldots 10^4 −104...104 之内，描述一个栅栏柱子的位置。
输出格式
由于面积之和不一定为整数且可能非常大，输出面积之和的两倍 模 10 9 + 7 10^9+7 109+7 的余数。
输入输出样例 #1
输入 #1
4
0 0
0 1
1 0
1 2输出 #1
3说明/提示
样例解释：
栅栏木桩 ( 0 , 0 0,0 0,0)、( 1 , 0 1,0 1,0) 和 ( 1 , 2 1,2 1,2) 组成了一个面积为 1 1 1 的三角形，( 0 , 0 0,0 0,0)、( 1 , 0 1,0 1,0) 和 ( 0 , 1 0,1 0,1) 组成了一个面积为 0.5 0.5 0.5 的三角形。所以答案为 2 × ( 1 + 0.5 ) = 3 2\times (1+0.5)=3 2×(1+0.5)=3。
子任务：
- 测试点 2 2 2 满足 N = 200 N=200 N=200。
- 测试点 3 3 3- 4 4 4 满足 N ≤ 5000 N\leq 5000 N≤5000。
- 测试点 5 5 5- 10 10 10 没有额外限制。
排序
LS(x, y)是所有纵坐标是y，横坐标<x的点到(x, y) 的距离之和。 ys[y] 记录所有纵坐标为y的横坐标，升序。 ys[y] 中：令x1是小于x2的最大数，横坐标比x2小的点的数量是c1。则LS(x2, y)=LS(x1, y)+(x2-x1)*c1;Cal(y)计算LS(?.y)。
类似RS(x, y)是横坐标大于x的点到(x, y)距离之和
TS(x, y)和BS(x, y)类似。
枚举(x, y) (LS(x, y)+RS(x, y)) × \times × (TS(x, y)+BS(x, y)) 便是结果。 时间复杂度 ：O(nlog)，瓶颈在排序。
可以两次哈希映射记录LS(x, y)等，也可以第一层用数组，第二层用哈希映射，节省空间。 空间复杂度：O(n)
代码
核心代码
cpp
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class KMP
{
public:
virtual int Find(const string& s, const string& t)
{
CalLen(t);
for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); )
{
for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);
//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等
//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)
if (0 == j)
{
i1++;
continue;
}
const int i2 = i1 + j;
j = m_vLen[j - 1];
i1 = i2 - j;//i2不变
}
return -1;
}
//vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性 部分m_vSameLen[i]会缺失
//static vector<int> Next(const string& s)
//{// j = vNext[i] 表示s[0,i]的最大公共前后缀是s[0,j]
// const int len = s.length();
// vector<int> vNext(len, -1);
// for (int i = 1; i < len; i++)
// {
// int next = vNext[i - 1];
// while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i]))
// {
// next = vNext[next];
// }
// vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);
// }
// return vNext;
//}
const vector<int> CalLen(const string& str)
{
m_vLen.resize(str.length());
for (int i = 1; i < str.length(); i++)
{
int next = m_vLen[i - 1];
while (str[next] != str[i])
{
if (0 == next)
{
break;
}
next = m_vLen[next - 1];
}
m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);
}
return m_vLen;
}
protected:
int m_c;
vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示str[0,i]的最长公共前后缀的长度
};
class CUnionFind
{
public:
CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
{
for (int i = 0; i < iSize; i++)
{
m_vNodeToRegion[i] = i;
}
m_iConnetRegionCount = iSize;
}
CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo) :CUnionFind(vNeiBo.size())
{
for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
Union(i, n);
}
}
}
int GetConnectRegionIndex(int iNode)
{
int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
if (iNode == iConnectNO)
{
return iNode;
}
return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
}
void Union(int iNode1, int iNode2)
{
const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
{
return;
}
m_iConnetRegionCount--;
if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
{
UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
}
else
{
UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
}
}
bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
{
return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
}
int GetConnetRegionCount()const
{
return m_iConnetRegionCount;
}
vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
{
const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
vector<int> vRet(iNodeSize);
for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
{
vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
}
return vRet;
}
std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
{
std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
{
ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
}
return ret;
}
private:
void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
{
m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
}
vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
int m_iConnetRegionCount;
};
class CNeiBo
{
public:
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& [i1, i2] : edges)
{
vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
{
vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
{
for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
{
if (neiBoMat[i][j])
{
neiBo[i].emplace_back(j);
neiBo[j].emplace_back(i);
}
}
}
return neiBo;
}
};
template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
{
}
C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(T2 n)const
{
C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
T1 ToInt()const
{
return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
}
private:
T1 m_iData = 0;;
};
class CBFSLeve {
public:
static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {
vector<int> leves(neiBo.size(), -1);
for (const auto& s : start) {
leves[s] = 0;
}
for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {
if (-1 != leves[next]) { continue; }
leves[next] = leves[start[i]] + 1;
start.emplace_back(next);
}
}
return leves;
}
template<class NextFun>
static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {
vector<int> leves(N, -1);
for (const auto& s : start) {
leves[s] = 0;
}
for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
auto nexts = nextFun(start[i]);
for (const auto& next : nexts) {
if (-1 != leves[next]) { continue; }
leves[next] = leves[start[i]] + 1;
start.emplace_back(next);
}
}
return leves;
}
static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {
const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);
for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
ret[leves[i]].emplace_back(i);
}
return ret;
};
static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {
const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);
for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);
}
vector<int> ret;
for (const auto& v : leveNodes) {
ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());
}
return ret;
};
};
class CCreatePrime {
public:
CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true)
{
m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i <= iMax; i++)
{
if (m_isPrime[i])
{
m_vPrime.emplace_back(i);
}
for (const auto& n : m_vPrime)
{
if ((long long)n * i > iMax) { break; }
m_isPrime[n * i] = false;
if (0 == i % n) { break; }
}
}
}
vector<int> m_vPrime;
vector<bool> m_isPrime;
};
template<class T >
class CFactorial
{
public:
CFactorial(int n) :m_res(n + 1) {
m_res[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
}
}
T Com(int iSel, int iCanSel)const {
return m_res[iCanSel] / m_res[iSel] / m_res[iCanSel - iSel];
}
T Com(const vector<int>& cnt)const {
T biRet = 1;
int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {
biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);
iCanSel -= cnt[j];
}
return biRet;
}
vector<T> m_res;
};
typedef C1097Int<> BI;
class Solution {
public:
int Ans(vector<pair<int, int>>& pts) {
const int iAdd = 10'000;
for (auto& [x, y] : pts) {
x += iAdd;
y += iAdd;
}
const int M = 10'000 + iAdd;
vector<vector<int>> xy(M + 1), yx(M + 1);
for (const auto& [x, y] : pts) {
xy[x].emplace_back(y);
yx[y].emplace_back(x);
}
auto Do = [&](vector<int> xs) {
unordered_map<int, BI> ans;
sort(xs.begin(), xs.end());
vector<BI> left(xs.size());
auto r = left;
for (int i = 1; i < xs.size(); i++) {
left[i] = left[i - 1] + BI(i) * (xs[i] - xs[i - 1]);
}
for (int i = xs.size() - 2; i >= 0; i--) {
r[i] = r[i + 1] + BI((int)xs.size() - 1 - i) * (xs[i + 1] - xs[i]);
}
for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
ans[xs[i]] = left[i] + r[i];
}
return ans;
};
vector<unordered_map<int, BI>> yxSum(M + 1), xySum(M + 1);
for (int i = 0; i < M; i++) {
yxSum[i] = Do(yx[i]);
xySum[i] = Do(xy[i]);
}
BI ans;
for (const auto& [x, y] : pts) {
ans += yxSum[y][x] * xySum[x][y];
}
return ans.ToInt();
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
int n;
cin >> n ;
auto pts = Read<pair<int,int>>(n);
#ifdef _DEBUG
//printf("M=%d,K=%d",m, k);
Out(pts, ",pts=");
//Out(edge, ",edge=");
/*Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(pts);
cout << res << "\n";
return 0;
}单元测试
cpp
vector<pair<int, int>> pts;
TEST_METHOD(TestMethod1)
{
pts = { {0,0},{0,1},{1,0},{1,2} };
auto res = Solution().Ans(pts);
AssertEx(3, res);
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。