每天学一个算法-快速排序（Quick Sort）

📘 快速排序（Quick Sort）

1. 问题定义

给定数组 (A1...n)，目标是将其重排为：

A\[1\]≤A\[2\]≤⋯≤A\[n\]\]\[A\[1\] \\le A\[2\] \\le \\dots \\le A\[n\]\]\[A\[1\]≤A\[2\]≤⋯≤A\[n\]

2. 核心思想

快速排序基于：

🔹 分治（Divide and Conquer）

将问题递归拆解为两个子问题。

在本算法中具体体现为：

1. 选择一个元素作为枢轴（pivot）
2. 执行划分（partition）
3. 对左右子数组递归排序

3. 核心术语（精确定义 + 可理解解释）

🔸 3.1 枢轴（Pivot）

定义：

用于划分数组的参考元素

作用：

将数组分为两部分：

\\text{左区间} \\le pivot \\le \\text{右区间}

理解：

pivot 是"分界值"，它最终会被放到正确位置

🔸 3.2 划分（Partition）

定义：

对区间 (Al...r) 重排，使：

∀i\p, A\[j\]≥A\[p\]\]\[ \\forall i \< p,\\ A\[i\] \\le A\[p\] \\quad \\forall j \> p,\\ A\[j\] \\ge A\[p\] \]\[∀i\p, A\[j\]≥A\[p\]

关键点：

• 只保证"左右关系正确"
• 不保证内部有序

👉 这是最容易误解的地方

🔸 3.3 递归（Recursion）

定义：

函数调用自身解决子问题

在快排中的作用：

• 对左区间继续排序
• 对右区间继续排序

🔸 3.4 原地排序（In-place）

定义：

不依赖额外线性空间

快排特点：

• 通过交换完成排序
• 仅使用常数额外空间（不计递归栈）

🔸 3.5 稳定性（Stability）

定义：

相等元素排序后相对顺序是否保持

结论：

快速排序不稳定

4. 算法结构

4.1 主过程

QuickSort(A, l, r):
    if l < r:
        p = Partition(A, l, r)
        QuickSort(A, l, p-1)
        QuickSort(A, p+1, r)

4.2 划分函数（Lomuto）

Partition(A, l, r):
    pivot = A[r]
    i = l - 1
    for j = l to r-1:
        if A[j] ≤ pivot:
            i = i + 1
            swap(A[i], A[j])
    swap(A[i+1], A[r])
    return i + 1

5. 核心机制（教学重点）

5.1 三个逻辑区间

在 partition 过程中，数组被划分为：

区间	含义
(Al..iAl..iAl..i)	≤ pivot
(Ai+1..j−1Ai+1..j-1Ai+1..j−1)	> pivot
(Aj..r−1Aj..r-1Aj..r−1)	未处理

5.2 循环不变量（Loop Invariant）

在每轮循环开始时成立：

A\[l..i\]≤pivot,A\[i+1..j−1\]\>pivot\]\[ A\[l..i\] \\le pivot,\\quad A\[i+1..j-1\] \> pivot \]\[A\[l..i\]≤pivot,A\[i+1..j−1\]\>pivot

意义：

• 保证算法过程始终正确
• 是证明正确性的关键工具

5.3 Partition 的本质

不是排序，而是：

把一个元素（pivot）放到它最终应该在的位置

6. 正确性（简要证明）

6.1 Partition 正确性

循环结束后：

• 左侧元素全部 ≤ pivot
• 右侧元素全部 ≥ pivot
• pivot 被交换到正确位置

6.2 递归正确性

基于归纳法：

• 子问题规模更小
• 子问题正确排序
• 整体有序

7. 时间复杂度

7.1 递推式

T(n)=T(k)+T(n−k−1)+Θ(n)\]\[ T(n) = T(k) + T(n-k-1) + \\Theta(n) \]\[T(n)=T(k)+T(n−k−1)+Θ(n)

7.2 三种情况

情况	复杂度	原因
最优	(n \log n)	划分均匀
最坏	(n^2)	划分极端
平均	(n \log n)	随机分布

🔹 为什么是 (n \log n)

• 每层处理 (n) 个元素
• 层数约为 (\log n)

8. 空间复杂度

来源：递归调用栈

情况	空间复杂度
平均	(\log n)
最坏	(n)

9. 枢轴选择对性能的影响

🔸 9.1 固定选择

• 简单
• 易退化

🔸 9.2 随机选择

作用：

• 打乱输入结构
• 避免极端划分

🔸 9.3 三数取中

降低偏斜划分概率

10. 三路划分（进阶）

动机：

存在大量重复元素时：

• 普通快排效率下降

解决：

划分为：

\pivot\]\[ \< pivot \\quad = pivot \\quad \> pivot \]\[\pivot

效果：

减少递归规模

11. 与其他排序对比

算法	时间	空间	稳定
快排	平均 (nlog⁡nn \log nnlogn)	原地	否
归并	(nlog⁡nn \log nnlogn)	额外空间	是
堆排	(nlog⁡nn \log nnlogn)	原地	否

12. 常见错误

❌ 错误1：认为 partition 后数组已排序

👉 实际只完成"分区"

❌ 错误2：递归区间写错

错误：

QuickSort(A,l,p)\]\[ QuickSort(A, l, p) \]\[QuickSort(A,l,p)

正确：

QuickSort(A,l,p−1)\]\[QuickSort(A, l, p-1)\]\[QuickSort(A,l,p−1)

❌ 错误3：不理解 i 的含义

i 表示：

			$\text{"≤ pivot 区域的右边界"}$

13. 关键结论

1. 快排核心是 partition
2. pivot 决定效率
3. 平均复杂度 (n \log n)
4. 非稳定排序
5. 原地算法