1.实验目的
熟练掌握使用 MATLAB 命令绘制控制系统奈氏图的方法。
能够分析控制系统奈氏图的基本规律。
加深理解控制系统奈奎斯特稳定性判据的实际应用。
学会利用奈氏图设计控制系统。
2.实验原理
(1) 幅相频率特性曲线
以角频率 ω 为参变量，当 ω从0→∞变化时，频率特性构成的向量在复平面上描绘出的曲线称为幅相频率特性曲线，也称为极坐标图或幅相曲线，又名奈奎斯特（Nyquist）曲线（或奈奎斯特图），简称奈氏图。
(2) 对数幅相曲线
对数幅相曲线又称为尼科尔斯曲线或尼科尔斯图，其特点是：纵坐标为 L(ω) ，单位是 dB，横坐标是φ(ω) ，单位为（°），均按线性分度，以角频率 ω 为参变量。在尼科尔斯曲线对应的坐标系中，可以绘制关于闭环幅频特性的等 M 簇线和闭环相频特性的等 α 簇线。
(3) 奈奎斯特稳定性判据
奈奎斯特稳定性判据（简称为奈氏判据）是利用系统开环频率特性来判断闭环系统稳定性的一个判据，用于研究系统结构参数改变时对系统稳定性的影响。其内容是：反馈控制系统稳定的充分必要条件是当ω从-∞变到+∞时，开环系统的奈氏曲线G(jω)H(jω)不穿过点(-1, j0)且逆时针包围临界点(-1, j0)的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。
对于开环稳定的系统，闭环系统稳定的充分必要条件是开环系统的奈氏曲线G(jω)H(jω)不包围点(-1, j0)，反之，则闭环系统是不稳定的。
对于开环不稳定的系统，有p个开环极点位于s右半平面，则闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从-∞变到∞时，开环系统的奈氏曲线G(jω)H(jω)逆时针包围点(-1, j0) p次。
3.实验内容
(1) 绘制控制系统的奈氏图
给定系统开环传递函数的分子系数多项式 num 和分母系数多项式 den，在 MATLAB 软件中函数 nyquist() 用来绘制系统的奈氏曲线，函数调用格式有以下两种。
格式一：nyquist(num, den)
作奈氏图，角频率向量的范围自动设定，默认
ω 的范围为 (−∞,+∞) 。
Tips：在自动控制理论中，幅频特性 L(ω) 为
ω 的偶函数，相频特性 φ(ω) 为 ω 的奇函数，则 ω 从 0 变化至 +∞ 与从 0 变化至 −∞ 的奈氏曲线是关于实轴对称的，即曲线在范围
(−∞∼0) 与(0∼+∞) 内是以横轴为镜像的。因此，一般只绘制 ω 从 0 变化至 +∞ 的奈氏曲线，这仅是 MATLAB 中的函数 nyquist() 执行后绘制的关于横轴对称的奈氏曲线，即 ω 范围在 (0∼+∞) 的部分。
格式二：nyquist(num, den, w)
作开环系统的奈氏曲线，角频率向量 ω 的范围可以人工给定。 ω 为对数等分，用对数等分函数 logspace() 完成，其调用格式为 logspace(d1, d2, n)，表示将变量 ω 进行对数等分，命令中 d1、d2 为 10 ^d1∼10 ^d2 之间的变量范围，n 为等分点数。
【例1】 系统的开环传递函数为
G(s)= 10/(s^2+2s+10)，绘制其奈氏图。
MATLAB程序如下：
num = 10; den = [1 2 10];
w = 0:0.1:100; % 给定角频率变量
axis([-1, 1.5, -2, 2]); % 改变坐标显示范围
nyquist(num, den, w)
程序运行后，奈氏图下图所示。
Tips：如果显示的奈氏曲线只有
ω 范围在（0 ~ + ∞）的部分，可以通过改变坐标显示范围或给定角频率变量的范围，绘制出 ω 从 - ∞ 变化至 0 与从 0 变化至 + ∞ 的奈氏曲线。
(2) 根据奈氏曲线判定系统是稳定的。
【例2】
已知 G(s)H(s)= 0.5/(s^3 +2s ^2+s+0.5) ，绘制其奈氏图，判定系统的稳定性。
MATLAB 程序如下：
num = 0.5; den = [1 2 1 0.5];
nyquist(num, den);
为了应用奈氏判据对闭环系统判稳，必须知道
G(s)H(s) 不稳定根个数 p 是否为 0，可以通过 roots() 函数求其特征方程的根得到。
p = [1 2 1 0.5]; roots§
结果显示，系统有 3 个特征根：-1.5652，-0.2174 + j0.5217，-0.2174 - j0.5217。特征根的实部全为负数，都在 s 左半平面，是稳定根，故
p=0 。
由于系统奈氏曲线没有包围且远离点 (−1,j0) ，而且 p=0 ，因此系统闭环稳定。
Tips：如果横坐标角频率的范围不够，从图中很难看出 ω 从 −∞ 变化至
+∞ 时的相角，通过重新设置坐标范围可以显示全部范围的曲线。在当前图形窗口 Figure 1 中选择"编辑"→"坐标区属性"选项，在图形的下方会增加一个"属性编辑器"对话框，如图 5-11 所示。根据实际需要更改该对话框的参数，使图形完全显示 ω 从 −∞ 变化至 +∞ 时系统奈氏曲线的形状。