二指输入的最小距离
问题描述
二指输入法定制键盘在 X-Y 平面上的布局如上图所示，其中每个大写英文字母都位于某个坐标处。
例如字母 A 位于坐标 (0,0)，字母 B 位于坐标 (0,1)，字母 P 位于坐标 (2,3) 且字母 Z 位于坐标 (4,1)。
给你一个待输入字符串 word，请你计算并返回在仅使用两根手指的情况下，键入该字符串需要的最小移动总距离。
坐标 (x1,y1) 和 (x2,y2) 之间的 距离 是 |x1 - x2| + |y1 - y2|。
注意，两根手指的起始位置是零代价的，不计入移动总距离。你的两根手指的起始位置也不必从首字母或者前两个字母开始。
（真题链接：二指输入的最小距离）
解题思路
我们可以把问题简化一下：键盘上的 26 个大写字母按行排列（每行 6 个，最后一行只有 Z 一个，但坐标依旧按 6 列计算），每个字母对应一个坐标。两根手指可以任意移动，起始位置任意且不花代价。我们需要按顺序打出 word 中的所有字母，每次只能用一根手指去按当前字母，问两根手指移动的总距离最小是多少。
关键观察
两根手指是独立的，某一时刻一根手指在某个字母上，另一根在另一个字母上（也可以相同位置）。
按完第 i 个字母后，我们只需要知道两根手指分别停在哪个字母上，以及此时已花的最小总距离。
下一个字母 word[i+1] 可以由左手按，也可以由右手按。如果由某根手指按，那么它就要从当前位置移动到新字母的位置，另一根手指不动。
动态规划定义
设 dp[i][l][r] 表示：已经按完了前 i 个字母（i 从 0 开始），并且左手停在字母 l（0~25），右手停在字母 r 时，需要的最小移动总距离。
初始时（i=0），第一个字母可以用任意一根手指按，另一根手指可以停在任意位置（不花代价）。所以：
dp[0][word[0]][任意] = 0
dp[0][任意][word[0]] = 0其余状态为无穷大。
状态转移
当我们要按第 i 个字母（当前字母 cur = word[i]）时，可以从 i-1 的状态转移过来。
如果上一轮是左手按的 prev = word[i-1]，那么这一轮可以：
左手继续按：左手从 prev 移动到 cur，右手保持不动（位置 j）。
增加距离 dist(prev, cur)，更新 dp[i][cur][j]。
换成右手按：那么上一轮右手的位置必须是 prev（因为上一轮左手按了 prev，右手在某个 k）。
现在右手从 prev 移动到 cur，左手保持不动（位置 k）。
增加距离 dist(prev, cur)，更新 dp[i][k][cur]。
如果上一轮是右手按的 prev，对称处理。
还有一种情况：上一轮两根手指中有一根停留在 prev 上，另一根在别处，而这一轮用另一根手指按 cur（即换手操作）。
代码中用 if (prev ==j) 来检查：如果上一轮右手位置 j 恰好等于上一个字母 prev，说明上一轮是右手按的 prev，那么这一轮我们可以用左手按 cur，左手可以从任意位置 k 移动到 cur，右手不动（仍然在 j）。
同理，如果 prev == j 也可以推出右手按的情况。
实际上更简洁的转移是：对于每个 dp[i-1][l][r]，当前字母 cur 可以由左手按（l -> cur）或右手按（r -> cur）。代码中为了优化常数，只枚举了上一轮参与按字母的那根手指的位置，另一根手指位置任意，并通过 prev == j 判断来减少枚举量。
最终答案
处理完所有字母后，取 dp[n-1][l][r] 中的最小值即可。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int getDistance(int p, int q) {
int x1 = p / 6, y1 = p % 6;
int x2 = q / 6, y2 = q % 6;
return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2);
}
int minimumDistance(string word) {
// 动态规划
int n = word.size();
int dp[n][26][26];// 输入第i个字母后，左手的位置和右手的位置
// 每个位置都初始化为最大值
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < 26; ++j) {
fill(dp[i][j], dp[i][j] + 26, INT_MAX >> 1);
}
}
// 初始化两个手指的第一次
for (int i = 0; i < 26; ++i) {
dp[0][i][word[0] - 'A'] = dp[0][word[0] - 'A'][i] = 0;
}
// 遍历每一个字母
for (int i = 1; i < n; ++i) {
// 上一轮和这一轮是同一只手
int cur = word[i] - 'A';// 当下要按的字母
int prev = word[i - 1] - 'A';// 上一个按下的字母
int d = getDistance(prev, cur);// 计算移动的距离
for (int j = 0; j < 26; ++j) {
dp[i][cur][j] = min(dp[i][cur][j], dp[i - 1][prev][j] + d);// 左手从 prev 移到 cur，右手保持在 j
dp[i][j][cur] = min(dp[i][j][cur], dp[i - 1][j][prev] + d);// 右手从 prev 移到 cur，左手保持在 j
if (prev == j) {// 上一轮和这轮不是同一只手按的
for (int k = 0; k < 26; ++k) {
int d0 = getDistance(k, cur);
dp[i][cur][j] = min(dp[i][cur][j], dp[i - 1][k][j] + d0);
dp[i][j][cur] = min(dp[i][j][cur], dp[i - 1][j][k] + d0);
}
}
}
}
int ans = INT_MAX >> 1;
for (int i = 0; i < 26; ++i) {
for (int j = 0; j < 26; ++j) {
ans = min(ans, dp[n - 1][i][j]);
}
}
return ans;
}
};复杂度分析
| 复杂度 | 量级 |
|---|---|
| 时间复杂度 | O(n × 26²) |
| 空间复杂度 | O(n × 26²) |
总结
这道题是一个典型的双指动态规划问题。我们通过记录两根手指的当前位置，逐步转移状态。核心难点在于想清楚"两个手指可以交替按字母"，并且要正确处理换手时的距离计算。
我们可以利用 dp[i][l][r] 的对称性，以及判断 prev == j 来减少不必要的枚举。
掌握这种 DP 后，类似的"多指键盘输入最小移动距离"问题都可以用类似方法解决。