离散数学——图论作战记录

图论的难点在于解法的不固定性，定义的多样性（比如树的六定义，哈密顿判断条件的三变式），但总归有迹可循，我们总结了一些常考的题型，不偏难怪，因为那种题不具有普适性，考试大概率不会出现。

图论的难中难核心与群论是一样的，就是抽象，有图的题比如写关系矩阵、邻接矩阵那确实手到擒来，但是难免遇到抽象的概念题和应用题，基于定义和定理出的题才抽象。

比如

需要转化为

才能求解，如何准确翻译应用题的条件就是题眼。

赵佬说图论三驾马车是构造法、最长路法和反证法。有了方法+题型总结，才能在考场上有dejavu，下笔有神。

图的基本定义与常见问题解

图遗忘定义

考图类判断

生成子图------等点不等边

竞赛图------有向完全图

路------点不同的通路

迹------边不同的通路

路必为迹。

有向图

最小入度最大入度

最小出度最大出度

简单图的边的性质：

可图化

一个考点，就是奇数度顶点有偶数个，这个很容易理解，因为无论如何度数都是偶数。

如果要画出来就用奇奇配对法，两个奇数度构成新边，消去奇数度。

其实满足奇数度顶点有偶数个还不够，还需要满足哈基米定理，但考试不会考这么深。

最短路------考算法过程

题库的原题已经被画花了，找了B站的离散的数学的视频例题代替。

小概率考选择

不少简单证明题都是顺着思路就能推下去的，并不需要奇淫技巧。
当然如果没想到，那就是坑。

存在性问题------构造法

构造法本质上就是创造满足条件的解，顺着思路走一定能构造出来，难点在如何用数学语言表达出来。

总体思路就是：先证明有路，再构造出路。

比如第一题，连通图任意两点必定有通路，接着构造简单通路，不妨设这条通路是x0x1x2 ...xn，如果当前通路不是简单通路，则一定有重复边和重复点构成回路，删去这条回路，如果还有继续删，直到变为简单通路。

"必有"就等价于"存在"问题。

很自然会想到假设长度大于n-1，就有重复顶点，删去就可以减少长度，减到n-1就可以了。

必要性：当e是G割边=》e不在回路中

反证假设：由于e在回路中，删去e后仍有其他通路连接e的端点，G仍然联通，因此此时e不是割边。

充分性：e不在回路中=》e是G割边

e的两个端点将被分割到不同的连通分支，不连通。

未完待续

最长路法：

假设有最长路P1从v0到vn、P2从u0到un，则假设两路径不相交，由于连通性，必然找得到一条路径从最长路P1到P2的一点，此时从v0到un就存在更长路径。

构造法与最长路法集合

Ⅰ 构造法

Ⅱ 最长路法

反证法

二部图的构造性质：必须一个在A一个在B

反证是一个总体思路，但细节还需要结合构造法、最长路法等方法实现。

定义反证a

证明二部图不含奇圈

握手定理

点与度数关系

考察点和度数关系：

点要最少，则每个点的度数要求最大，因此剩余顶点的度数尽量为2.

连通性证明与切割集

图的重要性质------每个分支的任意一点的度数最多为|V(G)|-1，即不与自己相连

连通性证明往往不好描述，而不连通由于有上述条件限制，往往更好证误，因此我们常用反证法解决。

反证：

假设不连通，将G分割为G1、G2，取G1一点为u，G2一点为v。

有|V(G)|=|V(G1)|+|V(G2)|=n，

则由于不连通，d(u)=|V(G1)|-1，d(v)=|V(G2)|-1，

因此d(u)+d(v)= |V(G1)|+|V(G2)|-2，

又|V(G)|=|V(G1)|+|V(G2)|=n，

因此d(u)+d(v)= n-2 < n

矛盾。

反证不连通不成立：

一般错一次就会了，n个人，那么在这张图每个人认识的人都小于等于n-1，即除自己都认识别人。

那么能被认识的人数就从 $0，n-1$ 。

假设有人谁也不认识，那么其他人肯定最多认识剩下的n-2个人，此时能被认识的人数就是 $0，n-2$ ，很明显没有n种认识方法，因此必定有两人的朋友数相同。

假设最少的朋友数为1，则能被认识的人数就是 $1,n-1$ ，依然没有n种认识方法。

得证。

边割集的定义

显然。

补图与原图------提供边的包含

任取两个节点，下证在同一个连通分支还是不同连通分支都相连。

如果在不在同一个连通分支，显然由补图定义一定包含其补边，因此相连。

如果在同一个联通分支，就在另一个分子找一个w点，这样由前面证明这两个点与w中的这个点一定联通，因此二者在补图中也联通。

补图与原图------构成完全图

补图与原图如果涉及了具体数值的运算就必定会用到完全图的性质，因为单单仅有补图或原图提供不了度边点的充分信息，而完全图的对称性能为我们提供很多解题思路：

证明自补图的顶点个数只有可能被4整除后余为0或1.

由于补图后构成完全图，因此完全图边数为n(n-1)/2=m(原图)+m(补图)，

自补图提供 m(原图)=m(补图)条件，因此有

因为边数为整数，因此n=4k或4k+1.

补图的翻译：顶点相等补图与原图的边构成完全图

边的条数不超过3v-6！

题眼------完全图每个点度数n-1

原图与补图共同构成完全图，而在完全图中，每个顶点的度数都是n-1，而由于n是奇数，因此n-1为偶数。

又因为d(v原图)+d(v补图)=d(v完全图)，因此在原图中为奇数度的顶点，加上补图中的度数，就等于完全图的度数，为偶数，因此该点在补图的度数必为奇数。

图的矩阵表示

没有难题。

关联矩阵、邻接矩阵、路径矩阵、可达矩阵。定义别弄混了，尤其是包含元素有哪些。

严格来说可达矩阵是路径矩阵经过激活函数后生成的，也就是将大于1的值全化为1。但在此不做区分，全部当作归一化后的可达矩阵。

这部分，

考图与矩阵的互相分析，给一个矩阵判断图的性质。

关联矩阵（点-边关系）

无向图有向图

注意一个关联矩阵的性质（4），但目前题库没有考到过。

邻接矩阵（点-点关系）

有时候考察由矩阵能得到图的什么信息，一般出选择。

有时候考察简单的计算，实际上就是可达矩阵的计算。

邻接矩阵的幂运算实际上就是可达矩阵/路径矩阵的运算，运算后不为零的地方就是可达的，有几条通路就是多少。

可达矩阵/（路径矩阵）

重申一下，才是路径矩阵，后面这个P(G)是路径矩阵归一化后的可达矩阵。

是方阵

全1则为连通图

欧拉

定义.G=(V,E)是一个图，G中一条通路称为欧拉通路，若此条通路经过了图中每条边一次且仅一次。若一条欧拉通路是一个回路，则称此回路为欧拉回路。一个图若有欧拉回路，则称这个图为欧拉图。
TH 定理：无向图有欧拉通路 ，当且仅当其奇数度顶点数为0或2。
**TH 定理：无向图有欧拉回路，**当且仅当所有顶点均为偶数度。、

平衡图------每个点都保证出度=入度

单连通有向图G，如果G是欧拉图则当且仅当G是平衡的；

单连通有向图G，如果G是半欧拉图则当且仅当恰有两奇数度顶点且除此之外其他点是平衡的；

哈密顿

是没有充要条件的

定义:设G=(V,E)是一个图,G中一条通路通过每一个顶点一次且一次 ,称这条通路为哈密尔顿通路。

G中一个圈,若通过每一个顶点一次且仅一次,称这个圈为哈密尔顿圈。

一个图若存在哈密尔顿圈,就称为哈密尔顿图。

**TH 定理1(哈密尔顿图的必要条件)：**若G=(V,E)是一个哈密尔顿图,则对于V的每一个非空子集S,均有W(G,S)≤|S|，割点集大小比删去后连通分支多
TH 定理2(哈密尔顿图的充分条件)： 设G=(V,E)是一个简单无向图,V=n≥3,

若对于任意的两不相邻结点 u,v∈V，均有 d(u)+d(v)≥n−1，则在 G 中存在一条哈密顿路。

若对于任意的两个不相邻的顶点u,v∈V，均有 d(u)+d(v)≥n，那么 G 是哈密尔顿图。
**TH 定理3(哈密尔顿图的充分条件):**设G=(V,E)是一个简单无向图,V=n≥3,

任意顶点的度数不小于.

TH 定理4 G 是哈密顿图当且仅当它的闭图 C(G) 是完全图 。

闭图就是任意选取两顶点，若度数之和大于顶点数，且两点之间没有边，就加一条边。

充分、必要条件的判断使用

必要条件------判断不成立------删枢纽

充分条件------判断成立------关注相邻/不相邻顶点度数和定点数

G是EU/H图的证明------定义构造

他们的本质实际上只是利用原图的条件推证目标图的定义。

------一般构造

------插入构造

哈密顿图的应用问题------左右关系问题

哈密顿图是关于点的不重复遍历问题，因此每次经过顶点都会消耗一个出度、一个入度，正好对应左右关系。

这种关系包括------和左右做游戏、和左右打过球之类的。

应用题一般考"满足证明"问题，因此一般凑充分条件------任意两个顶点度数和大于顶点数

练习：

哈密顿图的应用问题------哈密顿回路数

一般这种考的是完全图的哈密顿路数：因为完全图的边数对于每个点都是对称的，才方便计算。

比如经典的11人游戏问题，每次游戏每个人相邻的两个人都不相同，最多能玩几次？

K11完全图的边 |E(K11)|=(n-1)n/2=11*(11-1)/2=55条；

每个哈密顿图消耗 |E(哈密顿回路)|=11；

n方案数=55/11=5种，即五条回路。

有些题考列举，就每次多跳一个节点着选:ABCDEFG..... ACEG..... ADG.....

考绘图

背两个典型图就够用了：

(2) 蝴蝶结

(3) 四阶竞赛图

树

所有的图都满足握手定理

m=2n

定义考翻译

叶子 d(v)=1

树 e=n-1

联通各点度数大于等于1

握手定理+树的度边关系

此树为路的翻译是除了叶子节点，其他节点的度数恰好为2且联通。先证其余节点的度数大于2，显然。再证其余节点度数为2，由握手定理限制。

也考选择

条件限制问题------反证法

存在两片叶子-》最多一篇叶子-》其他节点度数大于2

反证：

设有n个顶点 |V|=n，

由树的定义 |E|=n-1

由握手定理 deg(v)=2|E|=2n-2

反证令T中最多一片叶子，也就是说，只有一个点的度为1，其他点的度都为2

按理来说，至少有2n-1度，

但目前我们算出来的度数：

deg(v)=2(n-1)+1=2n-1>2n-2

违背握手定理，矛盾。

存在一个度数为1的节点-》其他节点度数大于2-》握手矛盾

反证：

设有n个顶点 |V|=n，

由题目 |E|=n-1

由握手定理 deg(v)=2|E|=2n-2

反证令G中无一悬挂点，又且由于联通，各点度数大于等于1，也就是说，各点度数至少为2

按理来说，至少有2n度，

但目前我们算出来的度数：

deg(v)>2n>2n-2

违背握手定理，矛盾。

这类题要和另一种"最值题"区分开，这种题考察证明，另一种题考察数量关系【点和度数关系】

练习：

都很类似，不用真的去算，主要感受一下题目是如何问的，考试抓住题眼就会做了

树与割点

考察割点的定义------删去后不连通，以及性质------度数大于2，作为翻译条件，常与树的无环特性结合考连通性

树是无环连通图，且满足e=n-1，当n>2时，e>1，有边存在，即树中至少存在一个度数大于1的非叶结点 v，v至少连接了两个其他结点，删去后由于无环，变为不连通图。

构造证明------树中构造路

非悬挂点度数大于2，因此必定沟通两个其他节点，构造通过v的路uvw，则由于无环删去后不联通，满足割点定义。

生成树

任意连通图都能找到生成树 ------ 反证+定义

可以用生成树必须联通，因此割边必须存在于每一颗生成树中。若e存在于每一颗生成树中但非割边，则G-e仍联通，连通图必有生成树T1，T1此时不含e，则矛盾。

假设G图有一边e不存在于生成树T中，则将e加入树T后就会产生环，环可能有另一条边e1，去掉e1，保留e，T仍然是树，但此时e就存在T中了，矛盾。因此回路中仅有e，e是自环。

求最小生成树------避圈法、破圈法------考过程