每天学一个算法--图算法（Graph Algorithms）

📘 教案 06：图算法（Graph Algorithms）

1. 问题定义

图用于描述：

"对象之间的关系"

形式化定义

一个图 (G = (V, E))：

(V)：顶点集合（nodes）
(E)：边集合（edges）

示例

社交网络（人之间的关系）
地图（城市之间的路径）
推荐系统（用户-物品关系）

2. 核心术语

2.1 有向图 vs 无向图

无向图

(u,v)=(v,u)\]\[ (u, v) = (v, u) \]\[(u,v)=(v,u)

👉 双向关系

有向图

u→v\]\[ u \\to v \]\[u→v

👉 单向关系

2.2 权重（Weight）

边可以带权：

(u,v,w)\]\[ (u, v, w) \]\[(u,v,w)

👉 表示距离 / 成本 / 时间

2.3 路径（Path）

节点序列：

A→B→C\]\[ A \\to B \\to C \]\[A→B→C

2.4 图的表示（必须讲）

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

n×n\]\[ n \\times n \]\[n×n

优点：

查询快

缺点：

空间大

邻接表（Adjacency List）

text 复制代码

A: B, C
B: D

优点：

节省空间
实用性强

3. 图的遍历（基础）

3.1 深度优先搜索（DFS）

思想：

一条路走到底，再回溯

代码结构

text 复制代码

DFS(node):
    标记 node

    for 邻居:
        if 未访问:
            DFS(邻居)

3.2 广度优先搜索（BFS）

思想：

一层一层扩展

数据结构：

👉 队列（Queue）

代码

text 复制代码

BFS(start):
    queue.push(start)

    while queue 非空:
        node = pop()
        访问 node

        for 邻居:
            入队

3.3 DFS vs BFS

项目	DFS	BFS
数据结构	栈	队列
特点	深	广
用途	搜索路径	最短路径（无权）

4. 最短路径问题（核心）

问题：

从一个点到其他点的最短路径

5. Dijkstra 算法（重点）

5.1 适用条件

👉 边权非负

5.2 核心思想（贪心）

每次选择当前"距离最小"的节点

5.3 状态定义

dist\[i\]=起点到 i 的最短距离\]\[ dist\[i\] = \\text{起点到 i 的最短距离} \]\[dist\[i\]=起点到 i 的最短距离

5.4 算法流程

text 复制代码

初始化 dist

while 存在未访问节点:
    选 dist 最小节点 u
    标记 u

    for 邻居 v:
        更新 dist[v]

5.5 转移公式

dist\[v\]=min⁡(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))\]\[ dist\[v\] = \\min(dist\[v\], dist\[u\] + w(u,v)) \]\[dist\[v\]=min(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))

5.6 时间复杂度

普通：(O(n^2))
堆优化：(O((V+E)\log V))

6. 最小生成树（MST）

问题：

连接所有节点，边权和最小

6.1 Kruskal 算法（贪心）

思想：

按边权从小到大选边，不形成环

数据结构：

👉 并查集（Union-Find）

6.2 Prim 算法

思想：

从一个点开始，不断扩展最小边

7. 图算法的本质总结

7.1 DFS / BFS

👉 搜索结构

7.2 Dijkstra

👉 最短路径（贪心）

7.3 MST

👉 最优连接（贪心）

8. 常见错误

❌ 错误1：图表示选错

👉 实际一般用邻接表

❌ 错误2：BFS不会用队列

❌ 错误3：Dijkstra用于负权图

👉 错误！

9. 关键结论

图 = 关系建模
BFS/DFS = 基础遍历
Dijkstra = 最短路径
MST = 最小连接

10. 最小教学总结

图算法的本质是：

在"关系网络"中寻找结构或最优路径