LeetCode 416. 分割等和子集
📌 题目描述
题目级别：中等
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
-
示例 1:
输入：
nums = [1,5,11,5]输出：
true解释：数组可以分割成
[1, 5, 5]和[11]。 -
示例 2:
输入：
nums = [1,2,3,5]输出：
false解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
💡 破题思路：转化为 0-1 背包问题
这道题表面上是"分割数组"，但稍加数学转化就能看穿它的本质：
如果数组能够被平分成和相等的两份，那么整个数组的总和 sum 必须是偶数 ，且我们要在数组中挑出一部分数字，使得它们的和恰好等于 sum / 2。
这就完美契合了 0-1 背包问题 的模型：
- 背包总容量 ：
target = sum / 2。 - 物品 ：数组中的每个数字
nums[i]。 - 物品重量：数字本身的大小。
- 物品价值：依然是数字本身的大小（本题只需关心能否装满，不需要价值最大化，布尔值即可）。
- 核心限制：每个数字只能使用一次（0-1 背包）。
本解法高光点（状态压缩与倒序遍历）：
传统的二维背包需要 dp[i][j] 记录前 i 个物品凑成重量 j 的状态。
但实际上，我们在计算第 i 行时，仅仅依赖于第 i-1 行的数据。因此，我们可以直接把二维数组压缩成一维数组 dp[j]。
⚠️ 致命细节 ：在一维数组中，内层循环遍历容量 j 时，必须从大到小倒序遍历！ 如果正序遍历，我们在计算 dp[j] 时，用到的 dp[j - nums[i]] 可能在这一轮已经被当前物品更新过了，导致一个物品被重复放入（那就变成完全背包了）。倒序遍历完美保证了每个物品只被放入一次。
💻 C++ 代码实现 (满分标准模板)
cpp
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int sum = 0, ma = 0;
// 1. 计算总和并寻找最大元素
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum += nums[i];
ma = max(ma, nums[i]);
}
// 2. 极致剪枝 (大厂面试加分项)
// 如果总和是奇数，绝对不可能平分
if (sum % 2 != 0) return false;
int target = sum / 2;
// 如果数组中最大的元素直接比目标和还要大，那肯定凑不出来
if (ma > target) return false;
// 3. 一维 DP 数组
// dp[j] 表示能否从数组中挑选出和为 j 的子集
vector<bool> dp(target + 1, false);
// 核心起跑点：什么都不挑，凑出和为 0 永远是 True
dp[0] = true;
// 外层循环：遍历每一个数字 (物品)
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 内层循环：遍历背包容量。必须【倒序】，防止数字被重复使用！
// 优化：j 只需要遍历到 nums[i]，因为比 nums[i] 还小的容量根本装不下当前物品
for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
// 状态转移：能否凑出 j，取决于原来就能凑出 j，或者能凑出 (j - 当前数字)
dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[target];
}
};